Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29973 / 29876
↖ ↑ ↗
← S 81.394229°
E149.293213°		 ← 182.79 m → S 81.394229°
E149.304199°		 →
↑
182.78 m
↓
↑
182.78 m
↓
S 81.395872°
E149.293213°		 ← 182.76 m →
33 408 m²		 S 81.395872°
E149.304199°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29973 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29876 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914718627929688 y=0.911758422851562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914718627929688 × 215)
    floor (0.914718627929688 × 32768)
    floor (29973.5)     		tx = 29973
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.911758422851562 × 215)
    floor (0.911758422851562 × 32768)
    floor (29876.5)     		ty = 29876
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29973 / 29876 ti = "15/29973/29876"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29973/29876.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29973 ÷ 215
    29973 ÷ 32768     		x = 0.914703369140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29876 ÷ 215
    29876 ÷ 32768     		y = 0.9117431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.914703369140625 × 2 - 1) × π
    0.82940673828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.60565812
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9117431640625 × 2 - 1) × π
    -0.823486328125 × 3.1415926535     		Φ = -2.58705859869519
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60565812} λ = 2.60565812}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.58705859869519))-π/2
    2×atan(0.0752410289782998)-π/2
    2×0.0750995241716858-π/2
    0.150199048343372-1.57079632675     		φ = -1.42059728
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60565812} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.293213°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42059728 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.394229°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29973 KachelY 29876 2.60565812 -1.42059728 149.293213 -81.394229
    Oben rechts KachelX + 1 29974 KachelY 29876 2.60584986 -1.42059728 149.304199 -81.394229
    Unten links KachelX 29973 KachelY + 1 29877 2.60565812 -1.42062597 149.293213 -81.395872
    Unten rechts KachelX + 1 29974 KachelY + 1 29877 2.60584986 -1.42062597 149.304199 -81.395872
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42059728--1.42062597) × R
    2.86899999999424e-05 × 6371000     		dl = 182.783989999633m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42059728--1.42062597) × R
    2.86899999999424e-05 × 6371000     		dr = 182.783989999633m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60565812-2.60584986) × cos(-1.42059728) × R
    0.000191739999999996 × 0.149634941225908 × 6371000     		do = 182.790384130903m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60565812-2.60584986) × cos(-1.42062597) × R
    0.000191739999999996 × 0.149606574176054 × 6371000     		du = 182.755731636659m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42059728)-sin(-1.42062597))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149634941225908-0.149606574176054)×R²
    abs(2.60584986-2.60565812)×2.83670498542887e-05×R²
    0.000191739999999996×2.83670498542887e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.83670498542887e-05×40589641000000     		ar = 33407.9887866295m²