Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29973 / 19862
↖ ↑ ↗
← N 57.639521°
W 15.353394°		 ← 326.92 m → N 57.639521°
W 15.347901°		 →
↑
326.96 m
↓
↑
326.96 m
↓
N 57.636581°
W 15.353394°		 ← 326.95 m →
106 894 m²		 N 57.636581°
W 15.347901°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29973 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19862 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457359313964844 y=0.303077697753906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457359313964844 × 216)
    floor (0.457359313964844 × 65536)
    floor (29973.5)     		tx = 29973
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.303077697753906 × 216)
    floor (0.303077697753906 × 65536)
    floor (19862.5)     		ty = 19862
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29973 / 19862 ti = "16/29973/19862"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29973/19862.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29973 ÷ 216
    29973 ÷ 65536     		x = 0.457351684570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19862 ÷ 216
    19862 ÷ 65536     		y = 0.303070068359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457351684570312 × 2 - 1) × π
    -0.085296630859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.26796727
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.303070068359375 × 2 - 1) × π
    0.39385986328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.23734725299289
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26796727} λ = -0.26796727}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23734725299289))-π/2
    2×atan(3.4464587444333)-π/2
    2×1.28839787178002-π/2
    2.57679574356004-1.57079632675     		φ = 1.00599942
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26796727} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.353394°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00599942 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.639521°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29973 KachelY 19862 -0.26796727 1.00599942 -15.353394 57.639521
    Oben rechts KachelX + 1 29974 KachelY 19862 -0.26787140 1.00599942 -15.347901 57.639521
    Unten links KachelX 29973 KachelY + 1 19863 -0.26796727 1.00594810 -15.353394 57.636581
    Unten rechts KachelX + 1 29974 KachelY + 1 19863 -0.26787140 1.00594810 -15.347901 57.636581
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00599942-1.00594810) × R
    5.13200000000769e-05 × 6371000     		dl = 326.95972000049m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00599942-1.00594810) × R
    5.13200000000769e-05 × 6371000     		dr = 326.95972000049m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26796727--0.26787140) × cos(1.00599942) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.535244274764401 × 6371000     		do = 326.920656988609m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26796727--0.26787140) × cos(1.00594810) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.535287623926116 × 6371000     		du = 326.947134126424m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00599942)-sin(1.00594810))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.535244274764401-0.535287623926116)×R²
    abs(-0.26787140--0.26796727)×4.33491617146675e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.33491617146675e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.33491617146675e-05×40589641000000     		ar = 106894.214973418m²