Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29973 / 15569
↖ ↑ ↗
← N 68.234786°
W 15.353394°		 ← 226.48 m → N 68.234786°
W 15.347901°		 →
↑
226.49 m
↓
↑
226.49 m
↓
N 68.232749°
W 15.353394°		 ← 226.50 m →
51 298 m²		 N 68.232749°
W 15.347901°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29973 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15569 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457359313964844 y=0.237571716308594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457359313964844 × 216)
    floor (0.457359313964844 × 65536)
    floor (29973.5)     		tx = 29973
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.237571716308594 × 216)
    floor (0.237571716308594 × 65536)
    floor (15569.5)     		ty = 15569
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29973 / 15569 ti = "16/29973/15569"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29973/15569.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29973 ÷ 216
    29973 ÷ 65536     		x = 0.457351684570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15569 ÷ 216
    15569 ÷ 65536     		y = 0.237564086914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457351684570312 × 2 - 1) × π
    -0.085296630859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.26796727
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.237564086914062 × 2 - 1) × π
    0.524871826171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.64893347313069
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26796727} λ = -0.26796727}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.64893347313069))-π/2
    2×atan(5.20142940365025)-π/2
    2×1.3808590026722-π/2
    2.76171800534439-1.57079632675     		φ = 1.19092168
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26796727} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.353394°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19092168 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.234786°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29973 KachelY 15569 -0.26796727 1.19092168 -15.353394 68.234786
    Oben rechts KachelX + 1 29974 KachelY 15569 -0.26787140 1.19092168 -15.347901 68.234786
    Unten links KachelX 29973 KachelY + 1 15570 -0.26796727 1.19088613 -15.353394 68.232749
    Unten rechts KachelX + 1 29974 KachelY + 1 15570 -0.26787140 1.19088613 -15.347901 68.232749
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19092168-1.19088613) × R
    3.55499999999953e-05 × 6371000     		dl = 226.48904999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19092168-1.19088613) × R
    3.55499999999953e-05 × 6371000     		dr = 226.48904999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26796727--0.26787140) × cos(1.19092168) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.370804055410536 × 6371000     		do = 226.482582111153m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26796727--0.26787140) × cos(1.19088613) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.370837070856688 × 6371000     		du = 226.502747541884m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19092168)-sin(1.19088613))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.370804055410536-0.370837070856688)×R²
    abs(-0.26787140--0.26796727)×3.30154461521404e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.30154461521404e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.30154461521404e-05×40589641000000     		ar = 51298.1084939551m²