Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 29972 / 29747
↖ ↑ ↗
← S 81.179546°
E149.282227°		 ← 187.32 m → S 81.179546°
E149.293213°		 →
↑
187.31 m
↓
↑
187.31 m
↓
S 81.181231°
E149.282227°		 ← 187.29 m →
35 084 m²		 S 81.181231°
E149.293213°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29972 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29747 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914688110351562 y=0.907821655273438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914688110351562 × 215)
    floor (0.914688110351562 × 32768)
    floor (29972.5)     		tx = 29972
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.907821655273438 × 215)
    floor (0.907821655273438 × 32768)
    floor (29747.5)     		ty = 29747
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29972 / 29747 ti = "15/29972/29747"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29972/29747.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29972 ÷ 215
    29972 ÷ 32768     		x = 0.9146728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29747 ÷ 215
    29747 ÷ 32768     		y = 0.907806396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9146728515625 × 2 - 1) × π
    0.829345703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.60546637
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.907806396484375 × 2 - 1) × π
    -0.81561279296875 × 3.1415926535     		Φ = -2.56232315849124
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60546637} λ = 2.60546637}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.56232315849124))-π/2
    2×atan(0.0771253577270442)-π/2
    2×0.0769729790734196-π/2
    0.153945958146839-1.57079632675     		φ = -1.41685037
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60546637} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.282227°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41685037 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.179546°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29972 KachelY 29747 2.60546637 -1.41685037 149.282227 -81.179546
    Oben rechts KachelX + 1 29973 KachelY 29747 2.60565812 -1.41685037 149.293213 -81.179546
    Unten links KachelX 29972 KachelY + 1 29748 2.60546637 -1.41687977 149.282227 -81.181231
    Unten rechts KachelX + 1 29973 KachelY + 1 29748 2.60565812 -1.41687977 149.293213 -81.181231
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41685037--1.41687977) × R
    2.94000000000683e-05 × 6371000     		dl = 187.307400000435m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41685037--1.41687977) × R
    2.94000000000683e-05 × 6371000     		dr = 187.307400000435m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60546637-2.60565812) × cos(-1.41685037) × R
    0.000191750000000379 × 0.153338606884719 × 6371000     		do = 187.324460711063m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60546637-2.60565812) × cos(-1.41687977) × R
    0.000191750000000379 × 0.15330955451152 × 6371000     		du = 187.288969191658m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41685037)-sin(-1.41687977))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153338606884719-0.15330955451152)×R²
    abs(2.60565812-2.60546637)×2.90523731985015e-05×R²
    0.000191750000000379×2.90523731985015e-05×6371000²
    0.000191750000000379×2.90523731985015e-05×40589641000000     		ar = 35083.9337829322m²