Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29972 / 20778
↖ ↑ ↗
← N 54.844990°
W 15.358887°		 ← 351.69 m → N 54.844990°
W 15.353394°		 →
↑
351.68 m
↓
↑
351.68 m
↓
N 54.841827°
W 15.358887°		 ← 351.71 m →
123 685 m²		 N 54.841827°
W 15.353394°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29972 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20778 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457344055175781 y=0.317054748535156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457344055175781 × 216)
    floor (0.457344055175781 × 65536)
    floor (29972.5)     		tx = 29972
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.317054748535156 × 216)
    floor (0.317054748535156 × 65536)
    floor (20778.5)     		ty = 20778
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29972 / 20778 ti = "16/29972/20778"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29972/20778.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29972 ÷ 216
    29972 ÷ 65536     		x = 0.45733642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20778 ÷ 216
    20778 ÷ 65536     		y = 0.317047119140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45733642578125 × 2 - 1) × π
    -0.0853271484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.26806314
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.317047119140625 × 2 - 1) × π
    0.36590576171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.14952685288895
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26806314} λ = -0.26806314}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14952685288895))-π/2
    2×atan(3.15669897329211)-π/2
    2×1.2640109896579-π/2
    2.52802197931579-1.57079632675     		φ = 0.95722565
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26806314} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.358887°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95722565 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.844990°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29972 KachelY 20778 -0.26806314 0.95722565 -15.358887 54.844990
    Oben rechts KachelX + 1 29973 KachelY 20778 -0.26796727 0.95722565 -15.353394 54.844990
    Unten links KachelX 29972 KachelY + 1 20779 -0.26806314 0.95717045 -15.358887 54.841827
    Unten rechts KachelX + 1 29973 KachelY + 1 20779 -0.26796727 0.95717045 -15.353394 54.841827
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95722565-0.95717045) × R
    5.5200000000033e-05 × 6371000     		dl = 351.67920000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95722565-0.95717045) × R
    5.5200000000033e-05 × 6371000     		dr = 351.67920000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26806314--0.26796727) × cos(0.95722565) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.57579050008905 × 6371000     		do = 351.685795536568m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26806314--0.26796727) × cos(0.95717045) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.575835630581241 × 6371000     		du = 351.713360689253m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95722565)-sin(0.95717045))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.57579050008905-0.575835630581241)×R²
    abs(-0.26796727--0.26806314)×4.51304921910145e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.51304921910145e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.51304921910145e-05×40589641000000     		ar = 123685.426302529m²