Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29972 / 15176
↖ ↑ ↗
← N 69.021414°
W 15.358887°		 ← 218.67 m → N 69.021414°
W 15.353394°		 →
↑
218.72 m
↓
↑
218.72 m
↓
N 69.019447°
W 15.358887°		 ← 218.69 m →
47 830 m²		 N 69.019447°
W 15.353394°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29972 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15176 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457344055175781 y=0.231575012207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457344055175781 × 216)
    floor (0.457344055175781 × 65536)
    floor (29972.5)     		tx = 29972
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.231575012207031 × 216)
    floor (0.231575012207031 × 65536)
    floor (15176.5)     		ty = 15176
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29972 / 15176 ti = "16/29972/15176"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29972/15176.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29972 ÷ 216
    29972 ÷ 65536     		x = 0.45733642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15176 ÷ 216
    15176 ÷ 65536     		y = 0.2315673828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45733642578125 × 2 - 1) × π
    -0.0853271484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.26806314
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2315673828125 × 2 - 1) × π
    0.536865234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.68661187623206
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26806314} λ = -0.26806314}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.68661187623206))-π/2
    2×atan(5.40114990478992)-π/2
    2×1.38772362850092-π/2
    2.77544725700184-1.57079632675     		φ = 1.20465093
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26806314} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.358887°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20465093 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.021414°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29972 KachelY 15176 -0.26806314 1.20465093 -15.358887 69.021414
    Oben rechts KachelX + 1 29973 KachelY 15176 -0.26796727 1.20465093 -15.353394 69.021414
    Unten links KachelX 29972 KachelY + 1 15177 -0.26806314 1.20461660 -15.358887 69.019447
    Unten rechts KachelX + 1 29973 KachelY + 1 15177 -0.26796727 1.20461660 -15.353394 69.019447
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20465093-1.20461660) × R
    3.43299999998603e-05 × 6371000     		dl = 218.71642999911m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20465093-1.20461660) × R
    3.43299999998603e-05 × 6371000     		dr = 218.71642999911m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26806314--0.26796727) × cos(1.20465093) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.358019002458138 × 6371000     		do = 218.673628129026m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26806314--0.26796727) × cos(1.20461660) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.358051056659076 × 6371000     		du = 218.693206442936m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20465093)-sin(1.20461660))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.358019002458138-0.358051056659076)×R²
    abs(-0.26796727--0.26806314)×3.20542009384917e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.20542009384917e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.20542009384917e-05×40589641000000     		ar = 47829.6563333296m²