Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29971 / 29719
↖ ↑ ↗
← S 81.132252°
E149.271240°		 ← 188.32 m → S 81.132252°
E149.282227°		 →
↑
188.26 m
↓
↑
188.26 m
↓
S 81.133945°
E149.271240°		 ← 188.29 m →
35 451 m²		 S 81.133945°
E149.282227°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29971 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29719 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914657592773438 y=0.906967163085938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914657592773438 × 215)
    floor (0.914657592773438 × 32768)
    floor (29971.5)     		tx = 29971
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.906967163085938 × 215)
    floor (0.906967163085938 × 32768)
    floor (29719.5)     		ty = 29719
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29971 / 29719 ti = "15/29971/29719"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29971/29719.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29971 ÷ 215
    29971 ÷ 32768     		x = 0.914642333984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29719 ÷ 215
    29719 ÷ 32768     		y = 0.906951904296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.914642333984375 × 2 - 1) × π
    0.82928466796875 × 3.1415926535     		Λ = 2.60527462
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.906951904296875 × 2 - 1) × π
    -0.81390380859375 × 3.1415926535     		Φ = -2.5569542257338
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60527462} λ = 2.60527462}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.5569542257338))-π/2
    2×atan(0.077540552164737)-π/2
    2×0.0773857052435474-π/2
    0.154771410487095-1.57079632675     		φ = -1.41602492
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60527462} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.271240°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41602492 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.132252°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29971 KachelY 29719 2.60527462 -1.41602492 149.271240 -81.132252
    Oben rechts KachelX + 1 29972 KachelY 29719 2.60546637 -1.41602492 149.282227 -81.132252
    Unten links KachelX 29971 KachelY + 1 29720 2.60527462 -1.41605447 149.271240 -81.133945
    Unten rechts KachelX + 1 29972 KachelY + 1 29720 2.60546637 -1.41605447 149.282227 -81.133945
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41602492--1.41605447) × R
    2.95500000000448e-05 × 6371000     		dl = 188.263050000286m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41602492--1.41605447) × R
    2.95500000000448e-05 × 6371000     		dr = 188.263050000286m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60527462-2.60546637) × cos(-1.41602492) × R
    0.000191749999999935 × 0.154154242537057 × 6371000     		do = 188.320873237225m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60527462-2.60546637) × cos(-1.41605447) × R
    0.000191749999999935 × 0.154125045686959 × 6371000     		du = 188.285205219169m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41602492)-sin(-1.41605447))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.154154242537057-0.154125045686959)×R²
    abs(2.60546637-2.60527462)×2.91968500979456e-05×R²
    0.000191749999999935×2.91968500979456e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.91968500979456e-05×40589641000000     		ar = 35450.5044921831m²