Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29971 / 15060
↖ ↑ ↗
← N 69.248366°
W 15.364380°		 ← 216.44 m → N 69.248366°
W 15.358887°		 →
↑
216.42 m
↓
↑
216.42 m
↓
N 69.246419°
W 15.364380°		 ← 216.45 m →
46 844 m²		 N 69.246419°
W 15.358887°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29971 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15060 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457328796386719 y=0.229804992675781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457328796386719 × 216)
    floor (0.457328796386719 × 65536)
    floor (29971.5)     		tx = 29971
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.229804992675781 × 216)
    floor (0.229804992675781 × 65536)
    floor (15060.5)     		ty = 15060
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29971 / 15060 ti = "16/29971/15060"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29971/15060.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29971 ÷ 216
    29971 ÷ 65536     		x = 0.457321166992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15060 ÷ 216
    15060 ÷ 65536     		y = 0.22979736328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457321166992188 × 2 - 1) × π
    -0.085357666015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.26815902
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22979736328125 × 2 - 1) × π
    0.5404052734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.69773323694391
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26815902} λ = -0.26815902}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69773323694391))-π/2
    2×atan(5.46155330254734)-π/2
    2×1.38970415166942-π/2
    2.77940830333884-1.57079632675     		φ = 1.20861198
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26815902} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.364380°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20861198 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.248366°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29971 KachelY 15060 -0.26815902 1.20861198 -15.364380 69.248366
    Oben rechts KachelX + 1 29972 KachelY 15060 -0.26806314 1.20861198 -15.358887 69.248366
    Unten links KachelX 29971 KachelY + 1 15061 -0.26815902 1.20857801 -15.364380 69.246419
    Unten rechts KachelX + 1 29972 KachelY + 1 15061 -0.26806314 1.20857801 -15.358887 69.246419
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20861198-1.20857801) × R
    3.39699999998277e-05 × 6371000     		dl = 216.422869998903m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20861198-1.20857801) × R
    3.39699999998277e-05 × 6371000     		dr = 216.422869998903m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26815902--0.26806314) × cos(1.20861198) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.354317714461359 × 6371000     		do = 216.435500269047m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26815902--0.26806314) × cos(1.20857801) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.354349480456648 × 6371000     		du = 216.454904574283m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20861198)-sin(1.20857801))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.354317714461359-0.354349480456648)×R²
    abs(-0.26806314--0.26815902)×3.17659952893679e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.17659952893679e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.17659952893679e-05×40589641000000     		ar = 46843.6919100301m²