Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29970 / 20720
↖ ↑ ↗
← N 55.028022°
W 15.369873°		 ← 350.09 m → N 55.028022°
W 15.364380°		 →
↑
350.15 m
↓
↑
350.15 m
↓
N 55.024873°
W 15.369873°		 ← 350.12 m →
122 588 m²		 N 55.024873°
W 15.364380°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29970 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20720 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457313537597656 y=0.316169738769531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457313537597656 × 216)
    floor (0.457313537597656 × 65536)
    floor (29970.5)     		tx = 29970
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.316169738769531 × 216)
    floor (0.316169738769531 × 65536)
    floor (20720.5)     		ty = 20720
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29970 / 20720 ti = "16/29970/20720"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29970/20720.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29970 ÷ 216
    29970 ÷ 65536     		x = 0.457305908203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20720 ÷ 216
    20720 ÷ 65536     		y = 0.316162109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457305908203125 × 2 - 1) × π
    -0.08538818359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.26825489
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.316162109375 × 2 - 1) × π
    0.36767578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.15508753324487
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26825489} λ = -0.26825489}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15508753324487))-π/2
    2×atan(3.17430126225679)-π/2
    2×1.26560824675397-π/2
    2.53121649350794-1.57079632675     		φ = 0.96042017
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26825489} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.369873°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96042017 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.028022°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29970 KachelY 20720 -0.26825489 0.96042017 -15.369873 55.028022
    Oben rechts KachelX + 1 29971 KachelY 20720 -0.26815902 0.96042017 -15.364380 55.028022
    Unten links KachelX 29970 KachelY + 1 20721 -0.26825489 0.96036521 -15.369873 55.024873
    Unten rechts KachelX + 1 29971 KachelY + 1 20721 -0.26815902 0.96036521 -15.364380 55.024873
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96042017-0.96036521) × R
    5.49600000000483e-05 × 6371000     		dl = 350.150160000308m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96042017-0.96036521) × R
    5.49600000000483e-05 × 6371000     		dr = 350.150160000308m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26825489--0.26815902) × cos(0.96042017) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.573175735735912 × 6371000     		do = 350.088729448239m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26825489--0.26815902) × cos(0.96036521) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.573220770878875 × 6371000     		du = 350.116236362782m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96042017)-sin(0.96036521))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.573175735735912-0.573220770878875)×R²
    abs(-0.26815902--0.26825489)×4.5035142963834e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.5035142963834e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.5035142963834e-05×40589641000000     		ar = 122588.440436736m²