Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29970 / 15059
↖ ↑ ↗
← N 69.250311°
W 15.369873°		 ← 216.39 m → N 69.250311°
W 15.364380°		 →
↑
216.36 m
↓
↑
216.36 m
↓
N 69.248366°
W 15.369873°		 ← 216.41 m →
46 821 m²		 N 69.248366°
W 15.364380°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29970 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15059 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457313537597656 y=0.229789733886719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457313537597656 × 216)
    floor (0.457313537597656 × 65536)
    floor (29970.5)     		tx = 29970
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.229789733886719 × 216)
    floor (0.229789733886719 × 65536)
    floor (15059.5)     		ty = 15059
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29970 / 15059 ti = "16/29970/15059"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29970/15059.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29970 ÷ 216
    29970 ÷ 65536     		x = 0.457305908203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15059 ÷ 216
    15059 ÷ 65536     		y = 0.229782104492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457305908203125 × 2 - 1) × π
    -0.08538818359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.26825489
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.229782104492188 × 2 - 1) × π
    0.540435791015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.69782911074315
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26825489} λ = -0.26825489}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69782911074315))-π/2
    2×atan(5.46207694751372)-π/2
    2×1.38972113580092-π/2
    2.77944227160184-1.57079632675     		φ = 1.20864594
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26825489} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.369873°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20864594 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.250311°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29970 KachelY 15059 -0.26825489 1.20864594 -15.369873 69.250311
    Oben rechts KachelX + 1 29971 KachelY 15059 -0.26815902 1.20864594 -15.364380 69.250311
    Unten links KachelX 29970 KachelY + 1 15060 -0.26825489 1.20861198 -15.369873 69.248366
    Unten rechts KachelX + 1 29971 KachelY + 1 15060 -0.26815902 1.20861198 -15.364380 69.248366
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20864594-1.20861198) × R
    3.39600000001106e-05 × 6371000     		dl = 216.359160000704m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20864594-1.20861198) × R
    3.39600000001106e-05 × 6371000     		dr = 216.359160000704m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26825489--0.26815902) × cos(1.20864594) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.354285957408572 × 6371000     		do = 216.393529867892m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26825489--0.26815902) × cos(1.20861198) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.354317714461359 × 6371000     		du = 216.412926687345m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20864594)-sin(1.20861198))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.354285957408572-0.354317714461359)×R²
    abs(-0.26815902--0.26825489)×3.17570527869626e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.17570527869626e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.17570527869626e-05×40589641000000     		ar = 46820.8206963385m²