Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29969 / 29727
↖ ↑ ↗
← S 81.145790°
E149.249268°		 ← 188.03 m → S 81.145790°
E149.260254°		 →
↑
188.01 m
↓
↑
188.01 m
↓
S 81.147481°
E149.249268°		 ← 187.99 m →
35 347 m²		 S 81.147481°
E149.260254°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29969 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29727 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914596557617188 y=0.907211303710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914596557617188 × 215)
    floor (0.914596557617188 × 32768)
    floor (29969.5)     		tx = 29969
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.907211303710938 × 215)
    floor (0.907211303710938 × 32768)
    floor (29727.5)     		ty = 29727
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29969 / 29727 ti = "15/29969/29727"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29969/29727.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29969 ÷ 215
    29969 ÷ 32768     		x = 0.914581298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29727 ÷ 215
    29727 ÷ 32768     		y = 0.907196044921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.914581298828125 × 2 - 1) × π
    0.82916259765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.60489113
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.907196044921875 × 2 - 1) × π
    -0.81439208984375 × 3.1415926535     		Φ = -2.55848820652164
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60489113} λ = 2.60489113}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.55848820652164))-π/2
    2×atan(0.0774216976310296)-π/2
    2×0.0772675599743901-π/2
    0.15453511994878-1.57079632675     		φ = -1.41626121
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60489113} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.249268°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41626121 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.145790°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29969 KachelY 29727 2.60489113 -1.41626121 149.249268 -81.145790
    Oben rechts KachelX + 1 29970 KachelY 29727 2.60508287 -1.41626121 149.260254 -81.145790
    Unten links KachelX 29969 KachelY + 1 29728 2.60489113 -1.41629072 149.249268 -81.147481
    Unten rechts KachelX + 1 29970 KachelY + 1 29728 2.60508287 -1.41629072 149.260254 -81.147481
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41626121--1.41629072) × R
    2.95099999998438e-05 × 6371000     		dl = 188.008209999005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41626121--1.41629072) × R
    2.95099999998438e-05 × 6371000     		dr = 188.008209999005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60489113-2.60508287) × cos(-1.41626121) × R
    0.000191739999999996 × 0.153920772658547 × 6371000     		do = 188.025850977578m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60489113-2.60508287) × cos(-1.41629072) × R
    0.000191739999999996 × 0.153891614256514 × 6371000     		du = 187.990231786869m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41626121)-sin(-1.41629072))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153920772658547-0.153891614256514)×R²
    abs(2.60508287-2.60489113)×2.91584020331026e-05×R²
    0.000191739999999996×2.91584020331026e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.91584020331026e-05×40589641000000     		ar = 35347.0553281886m²