Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29969 / 29520
↖ ↑ ↗
← S 80.788795°
E149.249268°		 ← 195.54 m → S 80.788795°
E149.260254°		 →
↑
195.53 m
↓
↑
195.53 m
↓
S 80.790554°
E149.249268°		 ← 195.51 m →
38 230 m²		 S 80.790554°
E149.260254°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29969 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29520 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914596557617188 y=0.900894165039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914596557617188 × 215)
    floor (0.914596557617188 × 32768)
    floor (29969.5)     		tx = 29969
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.900894165039062 × 215)
    floor (0.900894165039062 × 32768)
    floor (29520.5)     		ty = 29520
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29969 / 29520 ti = "15/29969/29520"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29969/29520.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29969 ÷ 215
    29969 ÷ 32768     		x = 0.914581298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29520 ÷ 215
    29520 ÷ 32768     		y = 0.90087890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.914581298828125 × 2 - 1) × π
    0.82916259765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.60489113
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.90087890625 × 2 - 1) × π
    -0.8017578125 × 3.1415926535     		Φ = -2.51879645363623
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60489113} λ = 2.60489113}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.51879645363623))-π/2
    2×atan(0.0805565019138813)-π/2
    2×0.0803829241465203-π/2
    0.160765848293041-1.57079632675     		φ = -1.41003048
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60489113} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.249268°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41003048 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.788795°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29969 KachelY 29520 2.60489113 -1.41003048 149.249268 -80.788795
    Oben rechts KachelX + 1 29970 KachelY 29520 2.60508287 -1.41003048 149.260254 -80.788795
    Unten links KachelX 29969 KachelY + 1 29521 2.60489113 -1.41006117 149.249268 -80.790554
    Unten rechts KachelX + 1 29970 KachelY + 1 29521 2.60508287 -1.41006117 149.260254 -80.790554
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41003048--1.41006117) × R
    3.06899999999999e-05 × 6371000     		dl = 195.525989999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41003048--1.41006117) × R
    3.06899999999999e-05 × 6371000     		dr = 195.525989999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60489113-2.60508287) × cos(-1.41003048) × R
    0.000191739999999996 × 0.160074224669386 × 6371000     		do = 195.542757440582m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60489113-2.60508287) × cos(-1.41006117) × R
    0.000191739999999996 × 0.160043930342153 × 6371000     		du = 195.505750631434m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41003048)-sin(-1.41006117))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160074224669386-0.160043930342153)×R²
    abs(2.60508287-2.60489113)×3.02943272328937e-05×R²
    0.000191739999999996×3.02943272328937e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.02943272328937e-05×40589641000000     		ar = 38230.0733417903m²