Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29969 / 15563
↖ ↑ ↗
← N 68.247004°
W 15.375366°		 ← 226.36 m → N 68.247004°
W 15.369873°		 →
↑
226.36 m
↓
↑
226.36 m
↓
N 68.244968°
W 15.375366°		 ← 226.38 m →
51 242 m²		 N 68.244968°
W 15.369873°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29969 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15563 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457298278808594 y=0.237480163574219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457298278808594 × 216)
    floor (0.457298278808594 × 65536)
    floor (29969.5)     		tx = 29969
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.237480163574219 × 216)
    floor (0.237480163574219 × 65536)
    floor (15563.5)     		ty = 15563
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29969 / 15563 ti = "16/29969/15563"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29969/15563.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29969 ÷ 216
    29969 ÷ 65536     		x = 0.457290649414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15563 ÷ 216
    15563 ÷ 65536     		y = 0.237472534179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457290649414062 × 2 - 1) × π
    -0.085418701171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.26835076
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.237472534179688 × 2 - 1) × π
    0.525054931640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.64950871592613
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26835076} λ = -0.26835076}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.64950871592613))-π/2
    2×atan(5.20442234919335)-π/2
    2×1.38096562536918-π/2
    2.76193125073836-1.57079632675     		φ = 1.19113492
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26835076} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.375366°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19113492 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.247004°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29969 KachelY 15563 -0.26835076 1.19113492 -15.375366 68.247004
    Oben rechts KachelX + 1 29970 KachelY 15563 -0.26825489 1.19113492 -15.369873 68.247004
    Unten links KachelX 29969 KachelY + 1 15564 -0.26835076 1.19109939 -15.375366 68.244968
    Unten rechts KachelX + 1 29970 KachelY + 1 15564 -0.26825489 1.19109939 -15.369873 68.244968
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19113492-1.19109939) × R
    3.55300000001169e-05 × 6371000     		dl = 226.361630000744m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19113492-1.19109939) × R
    3.55300000001169e-05 × 6371000     		dr = 226.361630000744m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26835076--0.26825489) × cos(1.19113492) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.37060600862141 × 6371000     		do = 226.361617554467m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26835076--0.26825489) × cos(1.19109939) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.370639008302344 × 6371000     		du = 226.381773355995m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19113492)-sin(1.19109939))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.37060600862141-0.370639008302344)×R²
    abs(-0.26825489--0.26835076)×3.29996809343425e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.29996809343425e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.29996809343425e-05×40589641000000     		ar = 51241.8659748356m²