Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29969 / 15067
↖ ↑ ↗
← N 69.234737°
W 15.375366°		 ← 216.55 m → N 69.234737°
W 15.369873°		 →
↑
216.55 m
↓
↑
216.55 m
↓
N 69.232789°
W 15.375366°		 ← 216.57 m →
46 896 m²		 N 69.232789°
W 15.369873°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29969 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15067 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457298278808594 y=0.229911804199219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457298278808594 × 216)
    floor (0.457298278808594 × 65536)
    floor (29969.5)     		tx = 29969
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.229911804199219 × 216)
    floor (0.229911804199219 × 65536)
    floor (15067.5)     		ty = 15067
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29969 / 15067 ti = "16/29969/15067"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29969/15067.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29969 ÷ 216
    29969 ÷ 65536     		x = 0.457290649414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15067 ÷ 216
    15067 ÷ 65536     		y = 0.229904174804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457290649414062 × 2 - 1) × π
    -0.085418701171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.26835076
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.229904174804688 × 2 - 1) × π
    0.540191650390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.69706212034923
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26835076} λ = -0.26835076}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69706212034923))-π/2
    2×atan(5.4578891931531)-π/2
    2×1.38958522010496-π/2
    2.77917044020992-1.57079632675     		φ = 1.20837411
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26835076} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.375366°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20837411 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.234737°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29969 KachelY 15067 -0.26835076 1.20837411 -15.375366 69.234737
    Oben rechts KachelX + 1 29970 KachelY 15067 -0.26825489 1.20837411 -15.369873 69.234737
    Unten links KachelX 29969 KachelY + 1 15068 -0.26835076 1.20834012 -15.375366 69.232789
    Unten rechts KachelX + 1 29970 KachelY + 1 15068 -0.26825489 1.20834012 -15.369873 69.232789
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20837411-1.20834012) × R
    3.39900000001503e-05 × 6371000     		dl = 216.550290000957m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20837411-1.20834012) × R
    3.39900000001503e-05 × 6371000     		dr = 216.550290000957m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26835076--0.26825489) × cos(1.20837411) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.354540142643353 × 6371000     		do = 216.548783100611m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26835076--0.26825489) × cos(1.20834012) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.354571924475146 × 6371000     		du = 216.568195054778m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20837411)-sin(1.20834012))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.354540142643353-0.354571924475146)×R²
    abs(-0.26825489--0.26835076)×3.17818317931429e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.17818317931429e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.17818317931429e-05×40589641000000     		ar = 46895.8036161835m²