Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29968 / 29724
↖ ↑ ↗
← S 81.140715°
E149.238281°		 ← 188.14 m → S 81.140715°
E149.249268°		 →
↑
188.14 m
↓
↑
188.14 m
↓
S 81.142407°
E149.238281°		 ← 188.11 m →
35 393 m²		 S 81.142407°
E149.249268°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29968 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29724 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914566040039062 y=0.907119750976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914566040039062 × 215)
    floor (0.914566040039062 × 32768)
    floor (29968.5)     		tx = 29968
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.907119750976562 × 215)
    floor (0.907119750976562 × 32768)
    floor (29724.5)     		ty = 29724
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29968 / 29724 ti = "15/29968/29724"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29968/29724.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29968 ÷ 215
    29968 ÷ 32768     		x = 0.91455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29724 ÷ 215
    29724 ÷ 32768     		y = 0.9071044921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91455078125 × 2 - 1) × π
    0.8291015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.60469938
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9071044921875 × 2 - 1) × π
    -0.814208984375 × 3.1415926535     		Φ = -2.5579129637262
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60469938} λ = 2.60469938}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.5579129637262))-π/2
    2×atan(0.0774662467168446)-π/2
    2×0.0773118434669037-π/2
    0.154623686933807-1.57079632675     		φ = -1.41617264
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60469938} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.238281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41617264 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.140715°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29968 KachelY 29724 2.60469938 -1.41617264 149.238281 -81.140715
    Oben rechts KachelX + 1 29969 KachelY 29724 2.60489113 -1.41617264 149.249268 -81.140715
    Unten links KachelX 29968 KachelY + 1 29725 2.60469938 -1.41620217 149.238281 -81.142407
    Unten rechts KachelX + 1 29969 KachelY + 1 29725 2.60489113 -1.41620217 149.249268 -81.142407
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41617264--1.41620217) × R
    2.95299999999443e-05 × 6371000     		dl = 188.135629999645m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41617264--1.41620217) × R
    2.95299999999443e-05 × 6371000     		dr = 188.135629999645m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60469938-2.60489113) × cos(-1.41617264) × R
    0.000191749999999935 × 0.154008286583085 × 6371000     		do = 188.142567715082m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60469938-2.60489113) × cos(-1.41620217) × R
    0.000191749999999935 × 0.153979108821949 × 6371000     		du = 188.106923016851m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41617264)-sin(-1.41620217))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.154008286583085-0.153979108821949)×R²
    abs(2.60489113-2.60469938)×2.91777611361455e-05×R²
    0.000191749999999935×2.91777611361455e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.91777611361455e-05×40589641000000     		ar = 35392.9674902513m²