Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29968 / 29519
↖ ↑ ↗
← S 80.787037°
E149.238281°		 ← 195.59 m → S 80.787037°
E149.249268°		 →
↑
195.59 m
↓
↑
195.59 m
↓
S 80.788795°
E149.238281°		 ← 195.55 m →
38 252 m²		 S 80.788795°
E149.249268°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29968 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29519 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914566040039062 y=0.900863647460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914566040039062 × 215)
    floor (0.914566040039062 × 32768)
    floor (29968.5)     		tx = 29968
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.900863647460938 × 215)
    floor (0.900863647460938 × 32768)
    floor (29519.5)     		ty = 29519
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29968 / 29519 ti = "15/29968/29519"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29968/29519.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29968 ÷ 215
    29968 ÷ 32768     		x = 0.91455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29519 ÷ 215
    29519 ÷ 32768     		y = 0.900848388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91455078125 × 2 - 1) × π
    0.8291015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.60469938
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.900848388671875 × 2 - 1) × π
    -0.80169677734375 × 3.1415926535     		Φ = -2.51860470603775
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60469938} λ = 2.60469938}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.51860470603775))-π/2
    2×atan(0.080571949910676)-π/2
    2×0.0803982725232254-π/2
    0.160796545046451-1.57079632675     		φ = -1.40999978
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60469938} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.238281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40999978 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.787037°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29968 KachelY 29519 2.60469938 -1.40999978 149.238281 -80.787037
    Oben rechts KachelX + 1 29969 KachelY 29519 2.60489113 -1.40999978 149.249268 -80.787037
    Unten links KachelX 29968 KachelY + 1 29520 2.60469938 -1.41003048 149.238281 -80.788795
    Unten rechts KachelX + 1 29969 KachelY + 1 29520 2.60489113 -1.41003048 149.249268 -80.788795
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40999978--1.41003048) × R
    3.07000000001612e-05 × 6371000     		dl = 195.589700001027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40999978--1.41003048) × R
    3.07000000001612e-05 × 6371000     		dr = 195.589700001027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60469938-2.60489113) × cos(-1.40999978) × R
    0.000191749999999935 × 0.16010452871685 × 6371000     		do = 195.589976383189m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60469938-2.60489113) × cos(-1.41003048) × R
    0.000191749999999935 × 0.160074224669386 × 6371000     		du = 195.552955769374m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40999978)-sin(-1.41003048))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.16010452871685-0.160074224669386)×R²
    abs(2.60489113-2.60469938)×3.03040474636251e-05×R²
    0.000191749999999935×3.03040474636251e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.03040474636251e-05×40589641000000     		ar = 38251.764381552m²