Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29968 / 15166
↖ ↑ ↗
← N 69.041072°
W 15.380859°		 ← 218.50 m → N 69.041072°
W 15.375366°		 →
↑
218.46 m
↓
↑
218.46 m
↓
N 69.039107°
W 15.380859°		 ← 218.52 m →
47 736 m²		 N 69.039107°
W 15.375366°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29968 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15166 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457283020019531 y=0.231422424316406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457283020019531 × 216)
    floor (0.457283020019531 × 65536)
    floor (29968.5)     		tx = 29968
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.231422424316406 × 216)
    floor (0.231422424316406 × 65536)
    floor (15166.5)     		ty = 15166
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29968 / 15166 ti = "16/29968/15166"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29968/15166.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29968 ÷ 216
    29968 ÷ 65536     		x = 0.457275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15166 ÷ 216
    15166 ÷ 65536     		y = 0.231414794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457275390625 × 2 - 1) × π
    -0.08544921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.26844664
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.231414794921875 × 2 - 1) × π
    0.53717041015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.68757061422446
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26844664} λ = -0.26844664}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.68757061422446))-π/2
    2×atan(5.40633067551031)-π/2
    2×1.38789517491274-π/2
    2.77579034982548-1.57079632675     		φ = 1.20499402
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26844664} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.380859°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20499402 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.041072°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29968 KachelY 15166 -0.26844664 1.20499402 -15.380859 69.041072
    Oben rechts KachelX + 1 29969 KachelY 15166 -0.26835076 1.20499402 -15.375366 69.041072
    Unten links KachelX 29968 KachelY + 1 15167 -0.26844664 1.20495973 -15.380859 69.039107
    Unten rechts KachelX + 1 29969 KachelY + 1 15167 -0.26835076 1.20495973 -15.375366 69.039107
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20499402-1.20495973) × R
    3.42900000001034e-05 × 6371000     		dl = 218.461590000659m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20499402-1.20495973) × R
    3.42900000001034e-05 × 6371000     		dr = 218.461590000659m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26844664--0.26835076) × cos(1.20499402) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.35769863335392 × 6371000     		do = 218.500739578203m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26844664--0.26835076) × cos(1.20495973) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.357730654417017 × 6371000     		du = 218.520299691986m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20499402)-sin(1.20495973))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.35769863335392-0.357730654417017)×R²
    abs(-0.26835076--0.26844664)×3.20210630965767e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.20210630965767e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.20210630965767e-05×40589641000000     		ar = 47736.1555563416m²