Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29967 / 20781
↖ ↑ ↗
← N 54.835500°
W 15.386352°		 ← 351.77 m → N 54.835500°
W 15.380859°		 →
↑
351.74 m
↓
↑
351.74 m
↓
N 54.832337°
W 15.386352°		 ← 351.80 m →
123 737 m²		 N 54.832337°
W 15.380859°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29967 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20781 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457267761230469 y=0.317100524902344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457267761230469 × 216)
    floor (0.457267761230469 × 65536)
    floor (29967.5)     		tx = 29967
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.317100524902344 × 216)
    floor (0.317100524902344 × 65536)
    floor (20781.5)     		ty = 20781
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29967 / 20781 ti = "16/29967/20781"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29967/20781.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29967 ÷ 216
    29967 ÷ 65536     		x = 0.457260131835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20781 ÷ 216
    20781 ÷ 65536     		y = 0.317092895507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457260131835938 × 2 - 1) × π
    -0.085479736328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.26854251
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.317092895507812 × 2 - 1) × π
    0.365814208984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.14923923149123
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26854251} λ = -0.26854251}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14923923149123))-π/2
    2×atan(3.15579116967936)-π/2
    2×1.26392817508746-π/2
    2.52785635017493-1.57079632675     		φ = 0.95706002
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26854251} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.386352°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95706002 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.835500°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29967 KachelY 20781 -0.26854251 0.95706002 -15.386352 54.835500
    Oben rechts KachelX + 1 29968 KachelY 20781 -0.26844664 0.95706002 -15.380859 54.835500
    Unten links KachelX 29967 KachelY + 1 20782 -0.26854251 0.95700481 -15.386352 54.832337
    Unten rechts KachelX + 1 29968 KachelY + 1 20782 -0.26844664 0.95700481 -15.380859 54.832337
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95706002-0.95700481) × R
    5.52099999999722e-05 × 6371000     		dl = 351.742909999823m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95706002-0.95700481) × R
    5.52099999999722e-05 × 6371000     		dr = 351.742909999823m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26854251--0.26844664) × cos(0.95706002) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.57592591082676 × 6371000     		do = 351.768502759088m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26854251--0.26844664) × cos(0.95700481) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.575971044228504 × 6371000     		du = 351.796069688891m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95706002)-sin(0.95700481))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.57592591082676-0.575971044228504)×R²
    abs(-0.26844664--0.26854251)×4.51334017431693e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.51334017431693e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.51334017431693e-05×40589641000000     		ar = 123736.925073954m²