Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29967 / 15565
↖ ↑ ↗
← N 68.242932°
W 15.386352°		 ← 226.40 m → N 68.242932°
W 15.380859°		 →
↑
226.36 m
↓
↑
226.36 m
↓
N 68.240896°
W 15.386352°		 ← 226.42 m →
51 251 m²		 N 68.240896°
W 15.380859°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29967 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15565 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457267761230469 y=0.237510681152344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457267761230469 × 216)
    floor (0.457267761230469 × 65536)
    floor (29967.5)     		tx = 29967
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.237510681152344 × 216)
    floor (0.237510681152344 × 65536)
    floor (15565.5)     		ty = 15565
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29967 / 15565 ti = "16/29967/15565"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29967/15565.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29967 ÷ 216
    29967 ÷ 65536     		x = 0.457260131835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15565 ÷ 216
    15565 ÷ 65536     		y = 0.237503051757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457260131835938 × 2 - 1) × π
    -0.085479736328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.26854251
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.237503051757812 × 2 - 1) × π
    0.524993896484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.64931696832765
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26854251} λ = -0.26854251}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.64931696832765))-π/2
    2×atan(5.20342450937616)-π/2
    2×1.38093009079935-π/2
    2.76186018159871-1.57079632675     		φ = 1.19106385
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26854251} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.386352°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19106385 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.242932°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29967 KachelY 15565 -0.26854251 1.19106385 -15.386352 68.242932
    Oben rechts KachelX + 1 29968 KachelY 15565 -0.26844664 1.19106385 -15.380859 68.242932
    Unten links KachelX 29967 KachelY + 1 15566 -0.26854251 1.19102832 -15.386352 68.240896
    Unten rechts KachelX + 1 29968 KachelY + 1 15566 -0.26844664 1.19102832 -15.380859 68.240896
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19106385-1.19102832) × R
    3.55299999998948e-05 × 6371000     		dl = 226.36162999933m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19106385-1.19102832) × R
    3.55299999998948e-05 × 6371000     		dr = 226.36162999933m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26854251--0.26844664) × cos(1.19106385) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.370672016803029 × 6371000     		do = 226.40193454452m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26854251--0.26844664) × cos(1.19102832) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.370705015548015 × 6371000     		du = 226.422089774382m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19106385)-sin(1.19102832))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.370672016803029-0.370705015548015)×R²
    abs(-0.26844664--0.26854251)×3.2998744985524e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.2998744985524e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.2998744985524e-05×40589641000000     		ar = 51250.9921294281m²