Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29966 / 20779
↖ ↑ ↗
← N 54.841827°
W 15.391846°		 ← 351.75 m → N 54.841827°
W 15.386352°		 →
↑
351.74 m
↓
↑
351.74 m
↓
N 54.838664°
W 15.391846°		 ← 351.78 m →
123 730 m²		 N 54.838664°
W 15.386352°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29966 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20779 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457252502441406 y=0.317070007324219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457252502441406 × 216)
    floor (0.457252502441406 × 65536)
    floor (29966.5)     		tx = 29966
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.317070007324219 × 216)
    floor (0.317070007324219 × 65536)
    floor (20779.5)     		ty = 20779
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29966 / 20779 ti = "16/29966/20779"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29966/20779.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29966 ÷ 216
    29966 ÷ 65536     		x = 0.457244873046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20779 ÷ 216
    20779 ÷ 65536     		y = 0.317062377929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457244873046875 × 2 - 1) × π
    -0.08551025390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.26863839
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.317062377929688 × 2 - 1) × π
    0.365875244140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.14943097908971
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26863839} λ = -0.26863839}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14943097908971))-π/2
    2×atan(3.15639634307587)-π/2
    2×1.26398338696478-π/2
    2.52796677392957-1.57079632675     		φ = 0.95717045
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26863839} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.391846°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95717045 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.841827°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29966 KachelY 20779 -0.26863839 0.95717045 -15.391846 54.841827
    Oben rechts KachelX + 1 29967 KachelY 20779 -0.26854251 0.95717045 -15.386352 54.841827
    Unten links KachelX 29966 KachelY + 1 20780 -0.26863839 0.95711524 -15.391846 54.838664
    Unten rechts KachelX + 1 29967 KachelY + 1 20780 -0.26854251 0.95711524 -15.386352 54.838664
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95717045-0.95711524) × R
    5.52099999999722e-05 × 6371000     		dl = 351.742909999823m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95717045-0.95711524) × R
    5.52099999999722e-05 × 6371000     		dr = 351.742909999823m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26863839--0.26854251) × cos(0.95717045) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.575835630581241 × 6371000     		do = 351.750047177258m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26863839--0.26854251) × cos(0.95711524) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.575880767494175 × 6371000     		du = 351.777619127326m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95717045)-sin(0.95711524))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.575835630581241-0.575880767494175)×R²
    abs(-0.26854251--0.26863839)×4.51369129338408e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.51369129338408e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.51369129338408e-05×40589641000000     		ar = 123730.43433722m²