Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29965 / 20749
↖ ↑ ↗
← N 54.936610°
W 15.397339°		 ← 350.89 m → N 54.936610°
W 15.391846°		 →
↑
350.91 m
↓
↑
350.91 m
↓
N 54.933454°
W 15.397339°		 ← 350.91 m →
123 136 m²		 N 54.933454°
W 15.391846°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29965 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20749 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457237243652344 y=0.316612243652344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457237243652344 × 216)
    floor (0.457237243652344 × 65536)
    floor (29965.5)     		tx = 29965
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.316612243652344 × 216)
    floor (0.316612243652344 × 65536)
    floor (20749.5)     		ty = 20749
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29965 / 20749 ti = "16/29965/20749"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29965/20749.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29965 ÷ 216
    29965 ÷ 65536     		x = 0.457229614257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20749 ÷ 216
    20749 ÷ 65536     		y = 0.316604614257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457229614257812 × 2 - 1) × π
    -0.085540771484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.26873426
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.316604614257812 × 2 - 1) × π
    0.366790771484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.15230719306691
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26873426} λ = -0.26873426}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15230719306691))-π/2
    2×atan(3.16548788269452)-π/2
    2×1.26481052694665-π/2
    2.52962105389331-1.57079632675     		φ = 0.95882473
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26873426} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.397339°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95882473 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.936610°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29965 KachelY 20749 -0.26873426 0.95882473 -15.397339 54.936610
    Oben rechts KachelX + 1 29966 KachelY 20749 -0.26863839 0.95882473 -15.391846 54.936610
    Unten links KachelX 29965 KachelY + 1 20750 -0.26873426 0.95876965 -15.397339 54.933454
    Unten rechts KachelX + 1 29966 KachelY + 1 20750 -0.26863839 0.95876965 -15.391846 54.933454
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95882473-0.95876965) × R
    5.50799999999851e-05 × 6371000     		dl = 350.914679999905m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95882473-0.95876965) × R
    5.50799999999851e-05 × 6371000     		dr = 350.914679999905m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26873426--0.26863839) × cos(0.95882473) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.574482361035354 × 6371000     		do = 350.886800201111m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26873426--0.26863839) × cos(0.95876965) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.574527444078157 × 6371000     		du = 350.914336372289m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95882473)-sin(0.95876965))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.574482361035354-0.574527444078157)×R²
    abs(-0.26863839--0.26873426)×4.50830428025961e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.50830428025961e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.50830428025961e-05×40589641000000     		ar = 123136.160663296m²