Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 29964 / 29844
↖ ↑ ↗
← S 81.341463°
E149.194336°		 ← 183.90 m → S 81.341463°
E149.205322°		 →
↑
183.87 m
↓
↑
183.87 m
↓
S 81.343116°
E149.194336°		 ← 183.87 m →
33 810 m²		 S 81.343116°
E149.205322°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29964 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29844 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914443969726562 y=0.910781860351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914443969726562 × 215)
    floor (0.914443969726562 × 32768)
    floor (29964.5)     		tx = 29964
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.910781860351562 × 215)
    floor (0.910781860351562 × 32768)
    floor (29844.5)     		ty = 29844
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29964 / 29844 ti = "15/29964/29844"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29964/29844.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29964 ÷ 215
    29964 ÷ 32768     		x = 0.9144287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29844 ÷ 215
    29844 ÷ 32768     		y = 0.9107666015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9144287109375 × 2 - 1) × π
    0.828857421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.60393239
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9107666015625 × 2 - 1) × π
    -0.821533203125 × 3.1415926535     		Φ = -2.58092267554382
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60393239} λ = 2.60393239}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.58092267554382))-π/2
    2×atan(0.0757041214469057)-π/2
    2×0.0755599937470758-π/2
    0.151119987494152-1.57079632675     		φ = -1.41967634
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60393239} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.194336°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41967634 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.341463°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29964 KachelY 29844 2.60393239 -1.41967634 149.194336 -81.341463
    Oben rechts KachelX + 1 29965 KachelY 29844 2.60412413 -1.41967634 149.205322 -81.341463
    Unten links KachelX 29964 KachelY + 1 29845 2.60393239 -1.41970520 149.194336 -81.343116
    Unten rechts KachelX + 1 29965 KachelY + 1 29845 2.60412413 -1.41970520 149.205322 -81.343116
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41967634--1.41970520) × R
    2.88599999997974e-05 × 6371000     		dl = 183.867059998709m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41967634--1.41970520) × R
    2.88599999997974e-05 × 6371000     		dr = 183.867059998709m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60393239-2.60412413) × cos(-1.41967634) × R
    0.000191739999999996 × 0.150545449067169 × 6371000     		do = 183.902638238766m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60393239-2.60412413) × cos(-1.41970520) × R
    0.000191739999999996 × 0.150516917919328 × 6371000     		du = 183.867785286434m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41967634)-sin(-1.41970520))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150545449067169-0.150516917919328)×R²
    abs(2.60412413-2.60393239)×2.85311478416816e-05×R²
    0.000191739999999996×2.85311478416816e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.85311478416816e-05×40589641000000     		ar = 33810.43326637m²