Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 29964 / 21933
↖ ↑ ↗
← N 75.900809°
W 97.701416°		 ← 74.39 m → N 75.900809°
W 97.698670°		 →
↑
74.41 m
↓
↑
74.41 m
↓
N 75.900140°
W 97.701416°		 ← 74.39 m →
5 535 m²		 N 75.900140°
W 97.698670°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29964 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21933 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.228610992431641 y=0.167339324951172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.228610992431641 × 217)
    floor (0.228610992431641 × 131072)
    floor (29964.5)     		tx = 29964
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.167339324951172 × 217)
    floor (0.167339324951172 × 131072)
    floor (21933.5)     		ty = 21933
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 29964 / 21933 ti = "17/29964/21933"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/29964/21933.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29964 ÷ 217
    29964 ÷ 131072     		x = 0.228607177734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21933 ÷ 217
    21933 ÷ 131072     		y = 0.167335510253906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.228607177734375 × 2 - 1) × π
    -0.54278564453125 × 3.1415926535     		Λ = -1.70521139
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.167335510253906 × 2 - 1) × π
    0.665328979492188 × 3.1415926535     		Φ = 2.09019263413331
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.70521139} λ = -1.70521139}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.09019263413331))-π/2
    2×atan(8.08647274494739)-π/2
    2×1.44775767186357-π/2
    2.89551534372715-1.57079632675     		φ = 1.32471902
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.70521139} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -97.701416°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32471902 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.900809°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29964 KachelY 21933 -1.70521139 1.32471902 -97.701416 75.900809
    Oben rechts KachelX + 1 29965 KachelY 21933 -1.70516346 1.32471902 -97.698670 75.900809
    Unten links KachelX 29964 KachelY + 1 21934 -1.70521139 1.32470734 -97.701416 75.900140
    Unten rechts KachelX + 1 29965 KachelY + 1 21934 -1.70516346 1.32470734 -97.698670 75.900140
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32471902-1.32470734) × R
    1.16800000000694e-05 × 6371000     		dl = 74.4132800004422m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32471902-1.32470734) × R
    1.16800000000694e-05 × 6371000     		dr = 74.4132800004422m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.70521139--1.70516346) × cos(1.32471902) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.243601319364385 × 6371000     		do = 74.3865933918325m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.70521139--1.70516346) × cos(1.32470734) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.243612647493077 × 6371000     		du = 74.3900525722059m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32471902)-sin(1.32470734))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.243601319364385-0.243612647493077)×R²
    abs(-1.70516346--1.70521139)×1.13281286917843e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.13281286917843e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.13281286917843e-05×40589641000000     		ar = 5535.47910670522m²