Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29964 / 15151
↖ ↑ ↗
← N 69.070526°
W 15.402832°		 ← 218.18 m → N 69.070526°
W 15.397339°		 →
↑
218.21 m
↓
↑
218.21 m
↓
N 69.068563°
W 15.402832°		 ← 218.20 m →
47 612 m²		 N 69.068563°
W 15.397339°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29964 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15151 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457221984863281 y=0.231193542480469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457221984863281 × 216)
    floor (0.457221984863281 × 65536)
    floor (29964.5)     		tx = 29964
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.231193542480469 × 216)
    floor (0.231193542480469 × 65536)
    floor (15151.5)     		ty = 15151
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29964 / 15151 ti = "16/29964/15151"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29964/15151.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29964 ÷ 216
    29964 ÷ 65536     		x = 0.45721435546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15151 ÷ 216
    15151 ÷ 65536     		y = 0.231185913085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45721435546875 × 2 - 1) × π
    -0.0855712890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.26883013
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.231185913085938 × 2 - 1) × π
    0.537628173828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.68900872121306
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26883013} λ = -0.26883013}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.68900872121306))-π/2
    2×atan(5.41411115067438)-π/2
    2×1.38815220672155-π/2
    2.7763044134431-1.57079632675     		φ = 1.20550809
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26883013} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.402832°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20550809 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.070526°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29964 KachelY 15151 -0.26883013 1.20550809 -15.402832 69.070526
    Oben rechts KachelX + 1 29965 KachelY 15151 -0.26873426 1.20550809 -15.397339 69.070526
    Unten links KachelX 29964 KachelY + 1 15152 -0.26883013 1.20547384 -15.402832 69.068563
    Unten rechts KachelX + 1 29965 KachelY + 1 15152 -0.26873426 1.20547384 -15.397339 69.068563
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20550809-1.20547384) × R
    3.42499999999024e-05 × 6371000     		dl = 218.206749999378m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20550809-1.20547384) × R
    3.42499999999024e-05 × 6371000     		dr = 218.206749999378m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26883013--0.26873426) × cos(1.20550809) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.357218528484384 × 6371000     		do = 218.184708415654m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26883013--0.26873426) × cos(1.20547384) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.357250518488506 × 6371000     		du = 218.204247518934m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20550809)-sin(1.20547384))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.357218528484384-0.357250518488506)×R²
    abs(-0.26873426--0.26883013)×3.19900041219623e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.19900041219623e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.19900041219623e-05×40589641000000     		ar = 47611.5079096249m²