Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29963 / 29868
↖ ↑ ↗
← S 81.381067°
E149.183350°		 ← 183.08 m → S 81.381067°
E149.194336°		 →
↑
183.04 m
↓
↑
183.04 m
↓
S 81.382713°
E149.183350°		 ← 183.04 m →
33 507 m²		 S 81.382713°
E149.194336°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29963 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29868 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914413452148438 y=0.911514282226562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914413452148438 × 215)
    floor (0.914413452148438 × 32768)
    floor (29963.5)     		tx = 29963
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.911514282226562 × 215)
    floor (0.911514282226562 × 32768)
    floor (29868.5)     		ty = 29868
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29963 / 29868 ti = "15/29963/29868"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29963/29868.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29963 ÷ 215
    29963 ÷ 32768     		x = 0.914398193359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29868 ÷ 215
    29868 ÷ 32768     		y = 0.9114990234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.914398193359375 × 2 - 1) × π
    0.82879638671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.60374064
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9114990234375 × 2 - 1) × π
    -0.822998046875 × 3.1415926535     		Φ = -2.58552461790735
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60374064} λ = 2.60374064}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.58552461790735))-π/2
    2×atan(0.0753565358412144)-π/2
    2×0.075214379813709-π/2
    0.150428759627418-1.57079632675     		φ = -1.42036757
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60374064} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.183350°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42036757 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.381067°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29963 KachelY 29868 2.60374064 -1.42036757 149.183350 -81.381067
    Oben rechts KachelX + 1 29964 KachelY 29868 2.60393239 -1.42036757 149.194336 -81.381067
    Unten links KachelX 29963 KachelY + 1 29869 2.60374064 -1.42039630 149.183350 -81.382713
    Unten rechts KachelX + 1 29964 KachelY + 1 29869 2.60393239 -1.42039630 149.194336 -81.382713
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42036757--1.42039630) × R
    2.87299999999213e-05 × 6371000     		dl = 183.038829999499m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42036757--1.42039630) × R
    2.87299999999213e-05 × 6371000     		dr = 183.038829999499m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60374064-2.60393239) × cos(-1.42036757) × R
    0.000191750000000379 × 0.149862061043088 × 6371000     		do = 183.077375856494m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60374064-2.60393239) × cos(-1.42039630) × R
    0.000191750000000379 × 0.149833655431591 × 6371000     		du = 183.04267444657m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42036757)-sin(-1.42039630))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149862061043088-0.149833655431591)×R²
    abs(2.60393239-2.60374064)×2.840561149689e-05×R²
    0.000191750000000379×2.840561149689e-05×6371000²
    0.000191750000000379×2.840561149689e-05×40589641000000     		ar = 33507.0928256185m²