Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29963 / 20759
↖ ↑ ↗
← N 54.905040°
W 15.408325°		 ← 351.20 m → N 54.905040°
W 15.402832°		 →
↑
351.17 m
↓
↑
351.17 m
↓
N 54.901882°
W 15.408325°		 ← 351.23 m →
123 335 m²		 N 54.901882°
W 15.402832°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29963 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20759 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457206726074219 y=0.316764831542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457206726074219 × 216)
    floor (0.457206726074219 × 65536)
    floor (29963.5)     		tx = 29963
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.316764831542969 × 216)
    floor (0.316764831542969 × 65536)
    floor (20759.5)     		ty = 20759
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29963 / 20759 ti = "16/29963/20759"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29963/20759.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29963 ÷ 216
    29963 ÷ 65536     		x = 0.457199096679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20759 ÷ 216
    20759 ÷ 65536     		y = 0.316757202148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457199096679688 × 2 - 1) × π
    -0.085601806640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.26892601
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.316757202148438 × 2 - 1) × π
    0.366485595703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.15134845507451
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26892601} λ = -0.26892601}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15134845507451))-π/2
    2×atan(3.16245446355634)-π/2
    2×1.26453502984359-π/2
    2.52907005968717-1.57079632675     		φ = 0.95827373
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26892601} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.408325°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95827373 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.905040°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29963 KachelY 20759 -0.26892601 0.95827373 -15.408325 54.905040
    Oben rechts KachelX + 1 29964 KachelY 20759 -0.26883013 0.95827373 -15.402832 54.905040
    Unten links KachelX 29963 KachelY + 1 20760 -0.26892601 0.95821861 -15.408325 54.901882
    Unten rechts KachelX + 1 29964 KachelY + 1 20760 -0.26883013 0.95821861 -15.402832 54.901882
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95827373-0.95821861) × R
    5.51200000000751e-05 × 6371000     		dl = 351.169520000479m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95827373-0.95821861) × R
    5.51200000000751e-05 × 6371000     		dr = 351.169520000479m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26892601--0.26883013) × cos(0.95827373) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.574933276651813 × 6371000     		do = 351.198842943983m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26892601--0.26883013) × cos(0.95821861) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.574978374978823 × 6371000     		du = 351.226391323782m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95827373)-sin(0.95821861))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.574933276651813-0.574978374978823)×R²
    abs(-0.26883013--0.26892601)×4.50983270093852e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.50983270093852e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.50983270093852e-05×40589641000000     		ar = 123335.166208004m²