Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29963 / 15150
↖ ↑ ↗
← N 69.072488°
W 15.408325°		 ← 218.19 m → N 69.072488°
W 15.402832°		 →
↑
218.14 m
↓
↑
218.14 m
↓
N 69.070526°
W 15.408325°		 ← 218.21 m →
47 598 m²		 N 69.070526°
W 15.402832°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29963 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15150 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457206726074219 y=0.231178283691406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457206726074219 × 216)
    floor (0.457206726074219 × 65536)
    floor (29963.5)     		tx = 29963
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.231178283691406 × 216)
    floor (0.231178283691406 × 65536)
    floor (15150.5)     		ty = 15150
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29963 / 15150 ti = "16/29963/15150"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29963/15150.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29963 ÷ 216
    29963 ÷ 65536     		x = 0.457199096679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15150 ÷ 216
    15150 ÷ 65536     		y = 0.231170654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457199096679688 × 2 - 1) × π
    -0.085601806640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.26892601
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.231170654296875 × 2 - 1) × π
    0.53765869140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.6891045950123
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26892601} λ = -0.26892601}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.6891045950123))-π/2
    2×atan(5.41463024696337)-π/2
    2×1.38816932990375-π/2
    2.7763386598075-1.57079632675     		φ = 1.20554233
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26892601} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.408325°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20554233 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.072488°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29963 KachelY 15150 -0.26892601 1.20554233 -15.408325 69.072488
    Oben rechts KachelX + 1 29964 KachelY 15150 -0.26883013 1.20554233 -15.402832 69.072488
    Unten links KachelX 29963 KachelY + 1 15151 -0.26892601 1.20550809 -15.408325 69.070526
    Unten rechts KachelX + 1 29964 KachelY + 1 15151 -0.26883013 1.20550809 -15.402832 69.070526
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20554233-1.20550809) × R
    3.42400000001852e-05 × 6371000     		dl = 218.14304000118m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20554233-1.20550809) × R
    3.42400000001852e-05 × 6371000     		dr = 218.14304000118m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26892601--0.26883013) × cos(1.20554233) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.357186547401553 × 6371000     		do = 218.187931116312m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26892601--0.26883013) × cos(1.20550809) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.357218528484384 × 6371000     		du = 218.207466808092m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20554233)-sin(1.20550809))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.357186547401553-0.357218528484384)×R²
    abs(-0.26883013--0.26892601)×3.19810828312006e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.19810828312006e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.19810828312006e-05×40589641000000     		ar = 47598.3093774573m²