Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29962 / 20761
↖ ↑ ↗
← N 54.898723°
W 15.413818°		 ← 351.22 m → N 54.898723°
W 15.408325°		 →
↑
351.23 m
↓
↑
351.23 m
↓
N 54.895565°
W 15.413818°		 ← 351.24 m →
123 364 m²		 N 54.895565°
W 15.408325°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29962 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20761 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457191467285156 y=0.316795349121094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457191467285156 × 216)
    floor (0.457191467285156 × 65536)
    floor (29962.5)     		tx = 29962
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.316795349121094 × 216)
    floor (0.316795349121094 × 65536)
    floor (20761.5)     		ty = 20761
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29962 / 20761 ti = "16/29962/20761"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29962/20761.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29962 ÷ 216
    29962 ÷ 65536     		x = 0.457183837890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20761 ÷ 216
    20761 ÷ 65536     		y = 0.316787719726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457183837890625 × 2 - 1) × π
    -0.08563232421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.26902188
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.316787719726562 × 2 - 1) × π
    0.366424560546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.15115670747603
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26902188} λ = -0.26902188}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15115670747603))-π/2
    2×atan(3.16184812864114)-π/2
    2×1.26447990448224-π/2
    2.52895980896449-1.57079632675     		φ = 0.95816348
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26902188} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.413818°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95816348 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.898723°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29962 KachelY 20761 -0.26902188 0.95816348 -15.413818 54.898723
    Oben rechts KachelX + 1 29963 KachelY 20761 -0.26892601 0.95816348 -15.408325 54.898723
    Unten links KachelX 29962 KachelY + 1 20762 -0.26902188 0.95810835 -15.413818 54.895565
    Unten rechts KachelX + 1 29963 KachelY + 1 20762 -0.26892601 0.95810835 -15.408325 54.895565
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95816348-0.95810835) × R
    5.51299999999033e-05 × 6371000     		dl = 351.233229999384m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95816348-0.95810835) × R
    5.51299999999033e-05 × 6371000     		dr = 351.233229999384m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26902188--0.26892601) × cos(0.95816348) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.575023479740293 × 6371000     		do = 351.217308888206m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26902188--0.26892601) × cos(0.95810835) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.575068582754085 × 6371000     		du = 351.244857257421m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95816348)-sin(0.95810835))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.575023479740293-0.575068582754085)×R²
    abs(-0.26892601--0.26902188)×4.51030137921249e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.51030137921249e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.51030137921249e-05×40589641000000     		ar = 123364.027815185m²