Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29961 / 41317
↖ ↑ ↗
← S 42.443728°
W 15.419311°		 ← 450.73 m → S 42.443728°
W 15.413818°		 →
↑
450.75 m
↓
↑
450.75 m
↓
S 42.447782°
W 15.419311°		 ← 450.70 m →
203 157 m²		 S 42.447782°
W 15.413818°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29961 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41317 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457176208496094 y=0.630455017089844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457176208496094 × 216)
    floor (0.457176208496094 × 65536)
    floor (29961.5)     		tx = 29961
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630455017089844 × 216)
    floor (0.630455017089844 × 65536)
    floor (41317.5)     		ty = 41317
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29961 / 41317 ti = "16/29961/41317"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29961/41317.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29961 ÷ 216
    29961 ÷ 65536     		x = 0.457168579101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41317 ÷ 216
    41317 ÷ 65536     		y = 0.630447387695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457168579101562 × 2 - 1) × π
    -0.085662841796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.26911775
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.630447387695312 × 2 - 1) × π
    -0.260894775390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.81962510970372
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26911775} λ = -0.26911775}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.81962510970372))-π/2
    2×atan(0.44059679901305)-π/2
    2×0.415006763740837-π/2
    0.830013527481675-1.57079632675     		φ = -0.74078280
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26911775} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.419311°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74078280 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.443728°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29961 KachelY 41317 -0.26911775 -0.74078280 -15.419311 -42.443728
    Oben rechts KachelX + 1 29962 KachelY 41317 -0.26902188 -0.74078280 -15.413818 -42.443728
    Unten links KachelX 29961 KachelY + 1 41318 -0.26911775 -0.74085355 -15.419311 -42.447782
    Unten rechts KachelX + 1 29962 KachelY + 1 41318 -0.26902188 -0.74085355 -15.413818 -42.447782
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74078280--0.74085355) × R
    7.07500000000083e-05 × 6371000     		dl = 450.748250000053m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74078280--0.74085355) × R
    7.07500000000083e-05 × 6371000     		dr = 450.748250000053m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26911775--0.26902188) × cos(-0.74078280) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.737940499948438 × 6371000     		do = 450.725032356182m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26911775--0.26902188) × cos(-0.74085355) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.73789275134777 × 6371000     		du = 450.695868094859m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74078280)-sin(-0.74085355))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.737940499948438-0.73789275134777)×R²
    abs(-0.26902188--0.26911775)×4.77486006689176e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.77486006689176e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.77486006689176e-05×40589641000000     		ar = 203156.946780823m²