Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29960 / 29860
↖ ↑ ↗
← S 81.367886°
E149.150391°		 ← 183.35 m → S 81.367886°
E149.161377°		 →
↑
183.29 m
↓
↑
183.29 m
↓
S 81.369534°
E149.150391°		 ← 183.31 m →
33 603 m²		 S 81.369534°
E149.161377°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29960 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29860 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914321899414062 y=0.911270141601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914321899414062 × 215)
    floor (0.914321899414062 × 32768)
    floor (29960.5)     		tx = 29960
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.911270141601562 × 215)
    floor (0.911270141601562 × 32768)
    floor (29860.5)     		ty = 29860
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29960 / 29860 ti = "15/29960/29860"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29960/29860.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29960 ÷ 215
    29960 ÷ 32768     		x = 0.914306640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29860 ÷ 215
    29860 ÷ 32768     		y = 0.9112548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.914306640625 × 2 - 1) × π
    0.82861328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.60316540
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9112548828125 × 2 - 1) × π
    -0.822509765625 × 3.1415926535     		Φ = -2.58399063711951
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60316540} λ = 2.60316540}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.58399063711951))-π/2
    2×atan(0.0754722200254064)-π/2
    2×0.0753294097845558-π/2
    0.150658819569112-1.57079632675     		φ = -1.42013751
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60316540} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.150391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42013751 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.367886°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29960 KachelY 29860 2.60316540 -1.42013751 149.150391 -81.367886
    Oben rechts KachelX + 1 29961 KachelY 29860 2.60335714 -1.42013751 149.161377 -81.367886
    Unten links KachelX 29960 KachelY + 1 29861 2.60316540 -1.42016628 149.150391 -81.369534
    Unten rechts KachelX + 1 29961 KachelY + 1 29861 2.60335714 -1.42016628 149.161377 -81.369534
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42013751--1.42016628) × R
    2.87699999999003e-05 × 6371000     		dl = 183.293669999365m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42013751--1.42016628) × R
    2.87699999999003e-05 × 6371000     		dr = 183.293669999365m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60316540-2.60335714) × cos(-1.42013751) × R
    0.000191739999999996 × 0.150089518987898 × 6371000     		do = 183.345685205977m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60316540-2.60335714) × cos(-1.42016628) × R
    0.000191739999999996 × 0.150061074820522 × 6371000     		du = 183.310938506855m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42013751)-sin(-1.42016628))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150089518987898-0.150061074820522)×R²
    abs(2.60335714-2.60316540)×2.84441673762126e-05×R²
    0.000191739999999996×2.84441673762126e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.84441673762126e-05×40589641000000     		ar = 33602.9190977203m²