Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29960 / 15114
↖ ↑ ↗
← N 69.143009°
W 15.424805°		 ← 217.49 m → N 69.143009°
W 15.419311°		 →
↑
217.44 m
↓
↑
217.44 m
↓
N 69.141053°
W 15.424805°		 ← 217.50 m →
47 293 m²		 N 69.141053°
W 15.419311°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29960 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15114 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457160949707031 y=0.230628967285156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457160949707031 × 216)
    floor (0.457160949707031 × 65536)
    floor (29960.5)     		tx = 29960
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.230628967285156 × 216)
    floor (0.230628967285156 × 65536)
    floor (15114.5)     		ty = 15114
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29960 / 15114 ti = "16/29960/15114"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29960/15114.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29960 ÷ 216
    29960 ÷ 65536     		x = 0.4571533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15114 ÷ 216
    15114 ÷ 65536     		y = 0.230621337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4571533203125 × 2 - 1) × π
    -0.085693359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.26921363
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.230621337890625 × 2 - 1) × π
    0.53875732421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.69255605178494
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26921363} λ = -0.26921363}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69255605178494))-π/2
    2×atan(5.43335089737421)-π/2
    2×1.38878474419568-π/2
    2.77756948839136-1.57079632675     		φ = 1.20677316
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26921363} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.424805°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20677316 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.143009°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29960 KachelY 15114 -0.26921363 1.20677316 -15.424805 69.143009
    Oben rechts KachelX + 1 29961 KachelY 15114 -0.26911775 1.20677316 -15.419311 69.143009
    Unten links KachelX 29960 KachelY + 1 15115 -0.26921363 1.20673903 -15.424805 69.141053
    Unten rechts KachelX + 1 29961 KachelY + 1 15115 -0.26911775 1.20673903 -15.419311 69.141053
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20677316-1.20673903) × R
    3.41299999999656e-05 × 6371000     		dl = 217.442229999781m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20677316-1.20673903) × R
    3.41299999999656e-05 × 6371000     		dr = 217.442229999781m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26921363--0.26911775) × cos(1.20677316) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.356036641213395 × 6371000     		do = 217.485509219415m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26921363--0.26911775) × cos(1.20673903) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.356068534535225 × 6371000     		du = 217.504991302257m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20677316)-sin(1.20673903))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.356036641213395-0.356068534535225)×R²
    abs(-0.26911775--0.26921363)×3.18933218295681e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.18933218295681e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.18933218295681e-05×40589641000000     		ar = 47292.6522355994m²