Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29960 / 15112
↖ ↑ ↗
← N 69.146920°
W 15.424805°		 ← 217.45 m → N 69.146920°
W 15.419311°		 →
↑
217.44 m
↓
↑
217.44 m
↓
N 69.144964°
W 15.424805°		 ← 217.47 m →
47 284 m²		 N 69.144964°
W 15.419311°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29960 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15112 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457160949707031 y=0.230598449707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457160949707031 × 216)
    floor (0.457160949707031 × 65536)
    floor (29960.5)     		tx = 29960
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.230598449707031 × 216)
    floor (0.230598449707031 × 65536)
    floor (15112.5)     		ty = 15112
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29960 / 15112 ti = "16/29960/15112"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29960/15112.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29960 ÷ 216
    29960 ÷ 65536     		x = 0.4571533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15112 ÷ 216
    15112 ÷ 65536     		y = 0.2305908203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4571533203125 × 2 - 1) × π
    -0.085693359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.26921363
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2305908203125 × 2 - 1) × π
    0.538818359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.69274779938342
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26921363} λ = -0.26921363}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69274779938342))-π/2
    2×atan(5.43439282925126)-π/2
    2×1.38881887572299-π/2
    2.77763775144598-1.57079632675     		φ = 1.20684142
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26921363} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.424805°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20684142 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.146920°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29960 KachelY 15112 -0.26921363 1.20684142 -15.424805 69.146920
    Oben rechts KachelX + 1 29961 KachelY 15112 -0.26911775 1.20684142 -15.419311 69.146920
    Unten links KachelX 29960 KachelY + 1 15113 -0.26921363 1.20680729 -15.424805 69.144964
    Unten rechts KachelX + 1 29961 KachelY + 1 15113 -0.26911775 1.20680729 -15.419311 69.144964
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20684142-1.20680729) × R
    3.41299999999656e-05 × 6371000     		dl = 217.442229999781m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20684142-1.20680729) × R
    3.41299999999656e-05 × 6371000     		dr = 217.442229999781m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26921363--0.26911775) × cos(1.20684142) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.355972853325578 × 6371000     		do = 217.446544293736m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26921363--0.26911775) × cos(1.20680729) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.356004747476834 × 6371000     		du = 217.466026883234m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20684142)-sin(1.20680729))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.355972853325578-0.356004747476834)×R²
    abs(-0.26911775--0.26921363)×3.18941512558735e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.18941512558735e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.18941512558735e-05×40589641000000     		ar = 47284.1796700796m²