Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29959 / 29864
↖ ↑ ↗
← S 81.374479°
E149.139404°		 ← 183.22 m → S 81.374479°
E149.150391°		 →
↑
183.23 m
↓
↑
183.23 m
↓
S 81.376127°
E149.139404°		 ← 183.18 m →
33 568 m²		 S 81.376127°
E149.150391°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29959 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29864 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914291381835938 y=0.911392211914062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914291381835938 × 215)
    floor (0.914291381835938 × 32768)
    floor (29959.5)     		tx = 29959
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.911392211914062 × 215)
    floor (0.911392211914062 × 32768)
    floor (29864.5)     		ty = 29864
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29959 / 29864 ti = "15/29959/29864"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29959/29864.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29959 ÷ 215
    29959 ÷ 32768     		x = 0.914276123046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29864 ÷ 215
    29864 ÷ 32768     		y = 0.911376953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.914276123046875 × 2 - 1) × π
    0.82855224609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.60297365
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.911376953125 × 2 - 1) × π
    -0.82275390625 × 3.1415926535     		Φ = -2.58475762751343
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60297365} λ = 2.60297365}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.58475762751343))-π/2
    2×atan(0.075414355751147)-π/2
    2×0.0752718729918815-π/2
    0.150543745983763-1.57079632675     		φ = -1.42025258
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60297365} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.139404°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42025258 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.374479°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29959 KachelY 29864 2.60297365 -1.42025258 149.139404 -81.374479
    Oben rechts KachelX + 1 29960 KachelY 29864 2.60316540 -1.42025258 149.150391 -81.374479
    Unten links KachelX 29959 KachelY + 1 29865 2.60297365 -1.42028134 149.139404 -81.376127
    Unten rechts KachelX + 1 29960 KachelY + 1 29865 2.60316540 -1.42028134 149.150391 -81.376127
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42025258--1.42028134) × R
    2.8759999999961e-05 × 6371000     		dl = 183.229959999752m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42025258--1.42028134) × R
    2.8759999999961e-05 × 6371000     		dr = 183.229959999752m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60297365-2.60316540) × cos(-1.42025258) × R
    0.000191749999999935 × 0.149975751460138 × 6371000     		do = 183.216264531888m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60297365-2.60316540) × cos(-1.42028134) × R
    0.000191749999999935 × 0.149947316683056 × 6371000     		du = 183.18152749214m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42025258)-sin(-1.42028134))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149975751460138-0.149947316683056)×R²
    abs(2.60316540-2.60297365)×2.84347770819204e-05×R²
    0.000191749999999935×2.84347770819204e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.84347770819204e-05×40589641000000     		ar = 33567.5263903537m²