Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29959 / 20754
↖ ↑ ↗
← N 54.920828°
W 15.430298°		 ← 351.02 m → N 54.920828°
W 15.424805°		 →
↑
351.04 m
↓
↑
351.04 m
↓
N 54.917671°
W 15.430298°		 ← 351.05 m →
123 229 m²		 N 54.917671°
W 15.424805°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29959 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20754 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457145690917969 y=0.316688537597656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457145690917969 × 216)
    floor (0.457145690917969 × 65536)
    floor (29959.5)     		tx = 29959
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.316688537597656 × 216)
    floor (0.316688537597656 × 65536)
    floor (20754.5)     		ty = 20754
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29959 / 20754 ti = "16/29959/20754"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29959/20754.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29959 ÷ 216
    29959 ÷ 65536     		x = 0.457138061523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20754 ÷ 216
    20754 ÷ 65536     		y = 0.316680908203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457138061523438 × 2 - 1) × π
    -0.085723876953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.26930950
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.316680908203125 × 2 - 1) × π
    0.36663818359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.15182782407071
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26930950} λ = -0.26930950}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15182782407071))-π/2
    2×atan(3.16397080959367)-π/2
    2×1.26467280541421-π/2
    2.52934561082841-1.57079632675     		φ = 0.95854928
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26930950} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.430298°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95854928 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.920828°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29959 KachelY 20754 -0.26930950 0.95854928 -15.430298 54.920828
    Oben rechts KachelX + 1 29960 KachelY 20754 -0.26921363 0.95854928 -15.424805 54.920828
    Unten links KachelX 29959 KachelY + 1 20755 -0.26930950 0.95849418 -15.430298 54.917671
    Unten rechts KachelX + 1 29960 KachelY + 1 20755 -0.26921363 0.95849418 -15.424805 54.917671
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95854928-0.95849418) × R
    5.50999999999746e-05 × 6371000     		dl = 351.042099999838m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95854928-0.95849418) × R
    5.50999999999746e-05 × 6371000     		dr = 351.042099999838m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26930950--0.26921363) × cos(0.95854928) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.574707799735884 × 6371000     		do = 351.02449540228m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26930950--0.26921363) × cos(0.95849418) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.574752890427252 × 6371000     		du = 351.052036245108m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95854928)-sin(0.95849418))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.574707799735884-0.574752890427252)×R²
    abs(-0.26921363--0.26930950)×4.50906913673776e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.50906913673776e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.50906913673776e-05×40589641000000     		ar = 123229.210045844m²