Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29955 / 29441
↖ ↑ ↗
← S 80.648820°
E149.095459°		 ← 198.50 m → S 80.648820°
E149.106446°		 →
↑
198.46 m
↓
↑
198.46 m
↓
S 80.650605°
E149.095459°		 ← 198.46 m →
39 390 m²		 S 80.650605°
E149.106446°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29955 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29441 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914169311523438 y=0.898483276367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914169311523438 × 215)
    floor (0.914169311523438 × 32768)
    floor (29955.5)     		tx = 29955
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.898483276367188 × 215)
    floor (0.898483276367188 × 32768)
    floor (29441.5)     		ty = 29441
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29955 / 29441 ti = "15/29955/29441"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29955/29441.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29955 ÷ 215
    29955 ÷ 32768     		x = 0.914154052734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29441 ÷ 215
    29441 ÷ 32768     		y = 0.898468017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.914154052734375 × 2 - 1) × π
    0.82830810546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.60220666
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.898468017578125 × 2 - 1) × π
    -0.79693603515625 × 3.1415926535     		Φ = -2.50364839335629
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60220666} λ = 2.60220666}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.50364839335629))-π/2
    2×atan(0.0817860659039282)-π/2
    2×0.0816044396927621-π/2
    0.163208879385524-1.57079632675     		φ = -1.40758745
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60220666} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.095459°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40758745 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.648820°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29955 KachelY 29441 2.60220666 -1.40758745 149.095459 -80.648820
    Oben rechts KachelX + 1 29956 KachelY 29441 2.60239841 -1.40758745 149.106446 -80.648820
    Unten links KachelX 29955 KachelY + 1 29442 2.60220666 -1.40761860 149.095459 -80.650605
    Unten rechts KachelX + 1 29956 KachelY + 1 29442 2.60239841 -1.40761860 149.106446 -80.650605
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40758745--1.40761860) × R
    3.11499999998688e-05 × 6371000     		dl = 198.456649999164m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40758745--1.40761860) × R
    3.11499999998688e-05 × 6371000     		dr = 198.456649999164m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60220666-2.60239841) × cos(-1.40758745) × R
    0.000191750000000379 × 0.162485271658248 × 6371000     		do = 198.498385405021m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60220666-2.60239841) × cos(-1.40761860) × R
    0.000191750000000379 × 0.162454535532735 × 6371000     		du = 198.460836947701m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40758745)-sin(-1.40761860))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.162485271658248-0.162454535532735)×R²
    abs(2.60239841-2.60220666)×3.07361255131589e-05×R²
    0.000191750000000379×3.07361255131589e-05×6371000²
    0.000191750000000379×3.07361255131589e-05×40589641000000     		ar = 39389.5987305904m²