Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 29954 / 35070
↖ ↑ ↗
← N 63.862456°
W 97.728882°		 ← 134.52 m → N 63.862456°
W 97.726136°		 →
↑
134.49 m
↓
↑
134.49 m
↓
N 63.861246°
W 97.728882°		 ← 134.53 m →
18 092 m²		 N 63.861246°
W 97.726136°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29954 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35070 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.228534698486328 y=0.267566680908203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.228534698486328 × 217)
    floor (0.228534698486328 × 131072)
    floor (29954.5)     		tx = 29954
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.267566680908203 × 217)
    floor (0.267566680908203 × 131072)
    floor (35070.5)     		ty = 35070
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 29954 / 35070 ti = "17/29954/35070"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/29954/35070.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29954 ÷ 217
    29954 ÷ 131072     		x = 0.228530883789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35070 ÷ 217
    35070 ÷ 131072     		y = 0.267562866210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.228530883789062 × 2 - 1) × π
    -0.542938232421875 × 3.1415926535     		Λ = -1.70569076
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.267562866210938 × 2 - 1) × π
    0.464874267578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.46044558382463
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.70569076} λ = -1.70569076}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.46044558382463))-π/2
    2×atan(4.3078786217873)-π/2
    2×1.34270322522899-π/2
    2.68540645045797-1.57079632675     		φ = 1.11461012
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.70569076} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -97.728882°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11461012 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.862456°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29954 KachelY 35070 -1.70569076 1.11461012 -97.728882 63.862456
    Oben rechts KachelX + 1 29955 KachelY 35070 -1.70564283 1.11461012 -97.726136 63.862456
    Unten links KachelX 29954 KachelY + 1 35071 -1.70569076 1.11458901 -97.728882 63.861246
    Unten rechts KachelX + 1 29955 KachelY + 1 35071 -1.70564283 1.11458901 -97.726136 63.861246
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11461012-1.11458901) × R
    2.11100000000464e-05 × 6371000     		dl = 134.491810000295m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11461012-1.11458901) × R
    2.11100000000464e-05 × 6371000     		dr = 134.491810000295m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.70569076--1.70564283) × cos(1.11461012) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.440527527710467 × 6371000     		do = 134.520380132632m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.70569076--1.70564283) × cos(1.11458901) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.440546478884777 × 6371000     		du = 134.52616710169m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11461012)-sin(1.11458901))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.440527527710467-0.440546478884777)×R²
    abs(-1.70564283--1.70569076)×1.89511743095561e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.89511743095561e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.89511743095561e-05×40589641000000     		ar = 18092.2785567594m²