Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 29954 / 21783
↖ ↑ ↗
← N 76.000820°
W 97.728882°		 ← 73.87 m → N 76.000820°
W 97.726136°		 →
↑
73.90 m
↓
↑
73.90 m
↓
N 76.000156°
W 97.728882°		 ← 73.87 m →
5 459 m²		 N 76.000156°
W 97.726136°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29954 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21783 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.228534698486328 y=0.166194915771484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.228534698486328 × 217)
    floor (0.228534698486328 × 131072)
    floor (29954.5)     		tx = 29954
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.166194915771484 × 217)
    floor (0.166194915771484 × 131072)
    floor (21783.5)     		ty = 21783
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 29954 / 21783 ti = "17/29954/21783"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/29954/21783.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29954 ÷ 217
    29954 ÷ 131072     		x = 0.228530883789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21783 ÷ 217
    21783 ÷ 131072     		y = 0.166191101074219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.228530883789062 × 2 - 1) × π
    -0.542938232421875 × 3.1415926535     		Λ = -1.70569076
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.166191101074219 × 2 - 1) × π
    0.667617797851562 × 3.1415926535     		Φ = 2.09738316907632
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.70569076} λ = -1.70569076}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.09738316907632))-π/2
    2×atan(8.14482836240516)-π/2
    2×1.44863043649418-π/2
    2.89726087298835-1.57079632675     		φ = 1.32646455
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.70569076} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -97.728882°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32646455 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.000820°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29954 KachelY 21783 -1.70569076 1.32646455 -97.728882 76.000820
    Oben rechts KachelX + 1 29955 KachelY 21783 -1.70564283 1.32646455 -97.726136 76.000820
    Unten links KachelX 29954 KachelY + 1 21784 -1.70569076 1.32645295 -97.728882 76.000156
    Unten rechts KachelX + 1 29955 KachelY + 1 21784 -1.70564283 1.32645295 -97.726136 76.000156
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32646455-1.32645295) × R
    1.16000000001115e-05 × 6371000     		dl = 73.9036000007105m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32646455-1.32645295) × R
    1.16000000001115e-05 × 6371000     		dr = 73.9036000007105m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.70569076--1.70564283) × cos(1.32646455) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.241908002410737 × 6371000     		do = 73.8695186894326m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.70569076--1.70564283) × cos(1.32645295) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.241919257865066 × 6371000     		du = 73.8729556778153m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32646455)-sin(1.32645295))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.241908002410737-0.241919257865066)×R²
    abs(-1.70564283--1.70569076)×1.12554543297838e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.12554543297838e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.12554543297838e-05×40589641000000     		ar = 5459.35036444428m²