Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29954 / 15115
↖ ↑ ↗
← N 69.141053°
W 15.457764°		 ← 217.48 m → N 69.141053°
W 15.452271°		 →
↑
217.51 m
↓
↑
217.51 m
↓
N 69.139097°
W 15.457764°		 ← 217.50 m →
47 306 m²		 N 69.139097°
W 15.452271°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29954 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15115 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457069396972656 y=0.230644226074219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457069396972656 × 216)
    floor (0.457069396972656 × 65536)
    floor (29954.5)     		tx = 29954
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.230644226074219 × 216)
    floor (0.230644226074219 × 65536)
    floor (15115.5)     		ty = 15115
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29954 / 15115 ti = "16/29954/15115"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29954/15115.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29954 ÷ 216
    29954 ÷ 65536     		x = 0.457061767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15115 ÷ 216
    15115 ÷ 65536     		y = 0.230636596679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457061767578125 × 2 - 1) × π
    -0.08587646484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.26978887
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.230636596679688 × 2 - 1) × π
    0.538726806640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.6924601779857
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26978887} λ = -0.26978887}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.6924601779857))-π/2
    2×atan(5.43283000635138)-π/2
    2×1.38876767613846-π/2
    2.77753535227692-1.57079632675     		φ = 1.20673903
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26978887} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.457764°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20673903 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.141053°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29954 KachelY 15115 -0.26978887 1.20673903 -15.457764 69.141053
    Oben rechts KachelX + 1 29955 KachelY 15115 -0.26969300 1.20673903 -15.452271 69.141053
    Unten links KachelX 29954 KachelY + 1 15116 -0.26978887 1.20670489 -15.457764 69.139097
    Unten rechts KachelX + 1 29955 KachelY + 1 15116 -0.26969300 1.20670489 -15.452271 69.139097
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20673903-1.20670489) × R
    3.41400000001268e-05 × 6371000     		dl = 217.505940000808m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20673903-1.20670489) × R
    3.41400000001268e-05 × 6371000     		dr = 217.505940000808m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26978887--0.26969300) × cos(1.20673903) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.356068534535225 × 6371000     		do = 217.482306175933m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26978887--0.26969300) × cos(1.20670489) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.356100436786763 × 6371000     		du = 217.501791681008m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20673903)-sin(1.20670489))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.356068534535225-0.356100436786763)×R²
    abs(-0.26969300--0.26978887)×3.19022515377076e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.19022515377076e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.19022515377076e-05×40589641000000     		ar = 47305.812549232m²