Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29952 / 15197
↖ ↑ ↗
← N 68.980075°
W 15.468750°		 ← 219.11 m → N 68.980075°
W 15.463257°		 →
↑
219.10 m
↓
↑
219.10 m
↓
N 68.978105°
W 15.468750°		 ← 219.13 m →
48 008 m²		 N 68.978105°
W 15.463257°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29952 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15197 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457038879394531 y=0.231895446777344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457038879394531 × 216)
    floor (0.457038879394531 × 65536)
    floor (29952.5)     		tx = 29952
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.231895446777344 × 216)
    floor (0.231895446777344 × 65536)
    floor (15197.5)     		ty = 15197
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29952 / 15197 ti = "16/29952/15197"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29952/15197.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29952 ÷ 216
    29952 ÷ 65536     		x = 0.45703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15197 ÷ 216
    15197 ÷ 65536     		y = 0.231887817382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45703125 × 2 - 1) × π
    -0.0859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.26998062
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.231887817382812 × 2 - 1) × π
    0.536224365234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.68459852644801
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26998062} λ = -0.26998062}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.68459852644801))-π/2
    2×atan(5.39028644044198)-π/2
    2×1.38736288081435-π/2
    2.77472576162871-1.57079632675     		φ = 1.20392943
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26998062} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.468750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20392943 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.980075°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29952 KachelY 15197 -0.26998062 1.20392943 -15.468750 68.980075
    Oben rechts KachelX + 1 29953 KachelY 15197 -0.26988474 1.20392943 -15.463257 68.980075
    Unten links KachelX 29952 KachelY + 1 15198 -0.26998062 1.20389504 -15.468750 68.978105
    Unten rechts KachelX + 1 29953 KachelY + 1 15198 -0.26988474 1.20389504 -15.463257 68.978105
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20392943-1.20389504) × R
    3.43900000001618e-05 × 6371000     		dl = 219.098690001031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20392943-1.20389504) × R
    3.43900000001618e-05 × 6371000     		dr = 219.098690001031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26998062--0.26988474) × cos(1.20392943) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.358692584081498 × 6371000     		do = 219.107895851191m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26998062--0.26988474) × cos(1.20389504) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.358724685412496 × 6371000     		du = 219.127504996741m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20392943)-sin(1.20389504))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.358692584081498-0.358724685412496)×R²
    abs(-0.26988474--0.26998062)×3.21013309980134e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.21013309980134e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.21013309980134e-05×40589641000000     		ar = 48008.4011235996m²