Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29952 / 15117
↖ ↑ ↗
← N 69.137141°
W 15.468750°		 ← 217.54 m → N 69.137141°
W 15.463257°		 →
↑
217.51 m
↓
↑
217.51 m
↓
N 69.135185°
W 15.468750°		 ← 217.56 m →
47 319 m²		 N 69.135185°
W 15.463257°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29952 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15117 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457038879394531 y=0.230674743652344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457038879394531 × 216)
    floor (0.457038879394531 × 65536)
    floor (29952.5)     		tx = 29952
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.230674743652344 × 216)
    floor (0.230674743652344 × 65536)
    floor (15117.5)     		ty = 15117
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29952 / 15117 ti = "16/29952/15117"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29952/15117.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29952 ÷ 216
    29952 ÷ 65536     		x = 0.45703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15117 ÷ 216
    15117 ÷ 65536     		y = 0.230667114257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45703125 × 2 - 1) × π
    -0.0859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.26998062
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.230667114257812 × 2 - 1) × π
    0.538665771484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.69226843038722
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26998062} λ = -0.26998062}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69226843038722))-π/2
    2×atan(5.43178837411314)-π/2
    2×1.38873353543631-π/2
    2.77746707087261-1.57079632675     		φ = 1.20667074
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26998062} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.468750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20667074 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.137141°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29952 KachelY 15117 -0.26998062 1.20667074 -15.468750 69.137141
    Oben rechts KachelX + 1 29953 KachelY 15117 -0.26988474 1.20667074 -15.463257 69.137141
    Unten links KachelX 29952 KachelY + 1 15118 -0.26998062 1.20663660 -15.468750 69.135185
    Unten rechts KachelX + 1 29953 KachelY + 1 15118 -0.26988474 1.20663660 -15.463257 69.135185
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20667074-1.20663660) × R
    3.41400000001268e-05 × 6371000     		dl = 217.505940000808m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20667074-1.20663660) × R
    3.41400000001268e-05 × 6371000     		dr = 217.505940000808m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26998062--0.26988474) × cos(1.20667074) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.356132347967606 × 6371000     		do = 217.543971831871m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26998062--0.26988474) × cos(1.20663660) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.356164249388887 × 6371000     		du = 217.563458862274m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20667074)-sin(1.20663660))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.356132347967606-0.356164249388887)×R²
    abs(-0.26988474--0.26998062)×3.19014212806223e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.19014212806223e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.19014212806223e-05×40589641000000     		ar = 47319.2253616599m²