Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29951 / 29508
↖ ↑ ↗
← S 80.767668°
E149.051514°		 ← 196 m → S 80.767668°
E149.062500°		 →
↑
195.97 m
↓
↑
195.97 m
↓
S 80.769430°
E149.051514°		 ← 195.96 m →
38 406 m²		 S 80.769430°
E149.062500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29951 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29508 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914047241210938 y=0.900527954101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914047241210938 × 215)
    floor (0.914047241210938 × 32768)
    floor (29951.5)     		tx = 29951
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.900527954101562 × 215)
    floor (0.900527954101562 × 32768)
    floor (29508.5)     		ty = 29508
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29951 / 29508 ti = "15/29951/29508"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29951/29508.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29951 ÷ 215
    29951 ÷ 32768     		x = 0.914031982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29508 ÷ 215
    29508 ÷ 32768     		y = 0.9005126953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.914031982421875 × 2 - 1) × π
    0.82806396484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.60143967
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9005126953125 × 2 - 1) × π
    -0.801025390625 × 3.1415926535     		Φ = -2.51649548245447
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60143967} λ = 2.60143967}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.51649548245447))-π/2
    2×atan(0.0807420735188711)-π/2
    2×0.0805672965362572-π/2
    0.161134593072514-1.57079632675     		φ = -1.40966173
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60143967} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.051514°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40966173 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.767668°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29951 KachelY 29508 2.60143967 -1.40966173 149.051514 -80.767668
    Oben rechts KachelX + 1 29952 KachelY 29508 2.60163142 -1.40966173 149.062500 -80.767668
    Unten links KachelX 29951 KachelY + 1 29509 2.60143967 -1.40969249 149.051514 -80.769430
    Unten rechts KachelX + 1 29952 KachelY + 1 29509 2.60163142 -1.40969249 149.062500 -80.769430
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40966173--1.40969249) × R
    3.07600000000186e-05 × 6371000     		dl = 195.971960000118m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40966173--1.40969249) × R
    3.07600000000186e-05 × 6371000     		dr = 195.971960000118m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60143967-2.60163142) × cos(-1.40966173) × R
    0.000191749999999935 × 0.160438208739538 × 6371000     		do = 195.997612995846m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60143967-2.60163142) × cos(-1.40969249) × R
    0.000191749999999935 × 0.160407847132186 × 6371000     		du = 195.960522064612m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40966173)-sin(-1.40969249))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160438208739538-0.160407847132186)×R²
    abs(2.60163142-2.60143967)×3.03616073517587e-05×R²
    0.000191749999999935×3.03616073517587e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.03616073517587e-05×40589641000000     		ar = 38406.4019854267m²