Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29951 / 15203
↖ ↑ ↗
← N 68.968250°
W 15.474243°		 ← 219.20 m → N 68.968250°
W 15.468750°		 →
↑
219.23 m
↓
↑
219.23 m
↓
N 68.966278°
W 15.474243°		 ← 219.22 m →
48 057 m²		 N 68.966278°
W 15.468750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29951 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15203 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457023620605469 y=0.231986999511719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457023620605469 × 216)
    floor (0.457023620605469 × 65536)
    floor (29951.5)     		tx = 29951
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.231986999511719 × 216)
    floor (0.231986999511719 × 65536)
    floor (15203.5)     		ty = 15203
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29951 / 15203 ti = "16/29951/15203"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29951/15203.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29951 ÷ 216
    29951 ÷ 65536     		x = 0.457015991210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15203 ÷ 216
    15203 ÷ 65536     		y = 0.231979370117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457015991210938 × 2 - 1) × π
    -0.085968017578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.27007649
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.231979370117188 × 2 - 1) × π
    0.536041259765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.68402328365257
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27007649} λ = -0.27007649}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.68402328365257))-π/2
    2×atan(5.38718660866518)-π/2
    2×1.3872596854504-π/2
    2.77451937090079-1.57079632675     		φ = 1.20372304
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27007649} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.474243°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20372304 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.968250°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29951 KachelY 15203 -0.27007649 1.20372304 -15.474243 68.968250
    Oben rechts KachelX + 1 29952 KachelY 15203 -0.26998062 1.20372304 -15.468750 68.968250
    Unten links KachelX 29951 KachelY + 1 15204 -0.27007649 1.20368863 -15.474243 68.966278
    Unten rechts KachelX + 1 29952 KachelY + 1 15204 -0.26998062 1.20368863 -15.468750 68.966278
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20372304-1.20368863) × R
    3.44100000000402e-05 × 6371000     		dl = 219.226110000256m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20372304-1.20368863) × R
    3.44100000000402e-05 × 6371000     		dr = 219.226110000256m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27007649--0.26998062) × cos(1.20372304) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.358885232372006 × 6371000     		do = 219.202710766425m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27007649--0.26998062) × cos(1.20368863) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.358917349823682 × 6371000     		du = 219.222327713112m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20372304)-sin(1.20368863))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.358885232372006-0.358917349823682)×R²
    abs(-0.26998062--0.27007649)×3.21174516761946e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.21174516761946e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.21174516761946e-05×40589641000000     		ar = 48057.1078610004m²