Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29950 / 29485
↖ ↑ ↗
← S 80.727039°
E149.040527°		 ← 196.85 m → S 80.727039°
E149.051514°		 →
↑
196.80 m
↓
↑
196.80 m
↓
S 80.728809°
E149.040527°		 ← 196.82 m →
38 737 m²		 S 80.728809°
E149.051514°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29950 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29485 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914016723632812 y=0.899826049804688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914016723632812 × 215)
    floor (0.914016723632812 × 32768)
    floor (29950.5)     		tx = 29950
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.899826049804688 × 215)
    floor (0.899826049804688 × 32768)
    floor (29485.5)     		ty = 29485
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29950 / 29485 ti = "15/29950/29485"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29950/29485.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29950 ÷ 215
    29950 ÷ 32768     		x = 0.91400146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29485 ÷ 215
    29485 ÷ 32768     		y = 0.899810791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91400146484375 × 2 - 1) × π
    0.8280029296875 × 3.1415926535     		Λ = 2.60124792
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.899810791015625 × 2 - 1) × π
    -0.79962158203125 × 3.1415926535     		Φ = -2.51208528768942
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60124792} λ = 2.60124792}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.51208528768942))-π/2
    2×atan(0.0810989481537174)-π/2
    2×0.0809218495088106-π/2
    0.161843699017621-1.57079632675     		φ = -1.40895263
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60124792} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.040527°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40895263 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.727039°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29950 KachelY 29485 2.60124792 -1.40895263 149.040527 -80.727039
    Oben rechts KachelX + 1 29951 KachelY 29485 2.60143967 -1.40895263 149.051514 -80.727039
    Unten links KachelX 29950 KachelY + 1 29486 2.60124792 -1.40898352 149.040527 -80.728809
    Unten rechts KachelX + 1 29951 KachelY + 1 29486 2.60143967 -1.40898352 149.051514 -80.728809
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40895263--1.40898352) × R
    3.08900000001167e-05 × 6371000     		dl = 196.800190000743m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40895263--1.40898352) × R
    3.08900000001167e-05 × 6371000     		dr = 196.800190000743m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60124792-2.60143967) × cos(-1.40895263) × R
    0.000191749999999935 × 0.16113808258269 × 6371000     		do = 196.852606352688m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60124792-2.60143967) × cos(-1.40898352) × R
    0.000191749999999935 × 0.161107596180315 × 6371000     		du = 196.815362966957m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40895263)-sin(-1.40898352))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.16113808258269-0.161107596180315)×R²
    abs(2.60143967-2.60124792)×3.04864023742135e-05×R²
    0.000191749999999935×3.04864023742135e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.04864023742135e-05×40589641000000     		ar = 38736.9655823655m²