Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29950 / 15198
↖ ↑ ↗
← N 68.978105°
W 15.479737°		 ← 219.13 m → N 68.978105°
W 15.474243°		 →
↑
219.10 m
↓
↑
219.10 m
↓
N 68.976134°
W 15.479737°		 ← 219.15 m →
48 013 m²		 N 68.976134°
W 15.474243°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29950 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15198 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457008361816406 y=0.231910705566406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457008361816406 × 216)
    floor (0.457008361816406 × 65536)
    floor (29950.5)     		tx = 29950
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.231910705566406 × 216)
    floor (0.231910705566406 × 65536)
    floor (15198.5)     		ty = 15198
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29950 / 15198 ti = "16/29950/15198"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29950/15198.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29950 ÷ 216
    29950 ÷ 65536     		x = 0.457000732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15198 ÷ 216
    15198 ÷ 65536     		y = 0.231903076171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457000732421875 × 2 - 1) × π
    -0.08599853515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.27017237
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.231903076171875 × 2 - 1) × π
    0.53619384765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.68450265264877
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27017237} λ = -0.27017237}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.68450265264877))-π/2
    2×atan(5.38976967797433)-π/2
    2×1.38734568543475-π/2
    2.77469137086949-1.57079632675     		φ = 1.20389504
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27017237} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.479737°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20389504 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.978105°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29950 KachelY 15198 -0.27017237 1.20389504 -15.479737 68.978105
    Oben rechts KachelX + 1 29951 KachelY 15198 -0.27007649 1.20389504 -15.474243 68.978105
    Unten links KachelX 29950 KachelY + 1 15199 -0.27017237 1.20386065 -15.479737 68.976134
    Unten rechts KachelX + 1 29951 KachelY + 1 15199 -0.27007649 1.20386065 -15.474243 68.976134
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20389504-1.20386065) × R
    3.43899999999397e-05 × 6371000     		dl = 219.098689999616m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20389504-1.20386065) × R
    3.43899999999397e-05 × 6371000     		dr = 219.098689999616m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27017237--0.27007649) × cos(1.20389504) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.358724685412496 × 6371000     		do = 219.127504996741m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27017237--0.27007649) × cos(1.20386065) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.35875678631924 × 6371000     		du = 219.147113883135m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20389504)-sin(1.20386065))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.358724685412496-0.35875678631924)×R²
    abs(-0.27007649--0.27017237)×3.21009067441036e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.21009067441036e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.21009067441036e-05×40589641000000     		ar = 48012.697433323m²