Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29949 / 29484
↖ ↑ ↗
← S 80.725269°
E149.029541°		 ← 196.89 m → S 80.725269°
E149.040527°		 →
↑
196.86 m
↓
↑
196.86 m
↓
S 80.727039°
E149.029541°		 ← 196.85 m →
38 757 m²		 S 80.727039°
E149.040527°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29949 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29484 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913986206054688 y=0.899795532226562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913986206054688 × 215)
    floor (0.913986206054688 × 32768)
    floor (29949.5)     		tx = 29949
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.899795532226562 × 215)
    floor (0.899795532226562 × 32768)
    floor (29484.5)     		ty = 29484
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29949 / 29484 ti = "15/29949/29484"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29949/29484.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29949 ÷ 215
    29949 ÷ 32768     		x = 0.913970947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29484 ÷ 215
    29484 ÷ 32768     		y = 0.8997802734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.913970947265625 × 2 - 1) × π
    0.82794189453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.60105617
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8997802734375 × 2 - 1) × π
    -0.799560546875 × 3.1415926535     		Φ = -2.51189354009094
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60105617} λ = 2.60105617}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.51189354009094))-π/2
    2×atan(0.0811145001732487)-π/2
    2×0.080937299891081-π/2
    0.161874599782162-1.57079632675     		φ = -1.40892173
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60105617} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.029541°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40892173 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.725269°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29949 KachelY 29484 2.60105617 -1.40892173 149.029541 -80.725269
    Oben rechts KachelX + 1 29950 KachelY 29484 2.60124792 -1.40892173 149.040527 -80.725269
    Unten links KachelX 29949 KachelY + 1 29485 2.60105617 -1.40895263 149.029541 -80.727039
    Unten rechts KachelX + 1 29950 KachelY + 1 29485 2.60124792 -1.40895263 149.040527 -80.727039
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40892173--1.40895263) × R
    3.08999999998338e-05 × 6371000     		dl = 196.863899998941m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40892173--1.40895263) × R
    3.08999999998338e-05 × 6371000     		dr = 196.863899998941m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60105617-2.60124792) × cos(-1.40892173) × R
    0.000191749999999935 × 0.161168578700576 × 6371000     		do = 196.889861607271m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60105617-2.60124792) × cos(-1.40895263) × R
    0.000191749999999935 × 0.16113808258269 × 6371000     		du = 196.852606352688m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40892173)-sin(-1.40895263))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.161168578700576-0.16113808258269)×R²
    abs(2.60124792-2.60105617)×3.0496117886164e-05×R²
    0.000191749999999935×3.0496117886164e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.0496117886164e-05×40589641000000     		ar = 38756.8389222918m²