Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29949 / 15022
↖ ↑ ↗
← N 69.322200°
W 15.485229°		 ← 215.68 m → N 69.322200°
W 15.479737°		 →
↑
215.66 m
↓
↑
215.66 m
↓
N 69.320260°
W 15.485229°		 ← 215.70 m →
46 515 m²		 N 69.320260°
W 15.479737°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29949 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15022 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456993103027344 y=0.229225158691406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456993103027344 × 216)
    floor (0.456993103027344 × 65536)
    floor (29949.5)     		tx = 29949
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.229225158691406 × 216)
    floor (0.229225158691406 × 65536)
    floor (15022.5)     		ty = 15022
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29949 / 15022 ti = "16/29949/15022"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29949/15022.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29949 ÷ 216
    29949 ÷ 65536     		x = 0.456985473632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15022 ÷ 216
    15022 ÷ 65536     		y = 0.229217529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456985473632812 × 2 - 1) × π
    -0.086029052734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.27026824
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.229217529296875 × 2 - 1) × π
    0.54156494140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.70137644131503
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27026824} λ = -0.27026824}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.70137644131503))-π/2
    2×atan(5.48148714689836)-π/2
    2×1.39034847923208-π/2
    2.78069695846416-1.57079632675     		φ = 1.20990063
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27026824} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.485229°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20990063 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.322200°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29949 KachelY 15022 -0.27026824 1.20990063 -15.485229 69.322200
    Oben rechts KachelX + 1 29950 KachelY 15022 -0.27017237 1.20990063 -15.479737 69.322200
    Unten links KachelX 29949 KachelY + 1 15023 -0.27026824 1.20986678 -15.485229 69.320260
    Unten rechts KachelX + 1 29950 KachelY + 1 15023 -0.27017237 1.20986678 -15.479737 69.320260
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20990063-1.20986678) × R
    3.38499999998909e-05 × 6371000     		dl = 215.658349999305m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20990063-1.20986678) × R
    3.38499999998909e-05 × 6371000     		dr = 215.658349999305m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27026824--0.27017237) × cos(1.20990063) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.353112371638325 × 6371000     		do = 215.676718032379m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27026824--0.27017237) × cos(1.20986678) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.353144040850071 × 6371000     		du = 215.696061199599m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20990063)-sin(1.20986678))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.353112371638325-0.353144040850071)×R²
    abs(-0.27017237--0.27026824)×3.1669211745633e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.1669211745633e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.1669211745633e-05×40589641000000     		ar = 46514.5709062106m²