Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29948 / 41213
↖ ↑ ↗
← S 42.020733°
W 15.490722°		 ← 453.76 m → S 42.020733°
W 15.485229°		 →
↑
453.74 m
↓
↑
453.74 m
↓
S 42.024813°
W 15.490722°		 ← 453.73 m →
205 882 m²		 S 42.024813°
W 15.485229°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29948 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41213 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456977844238281 y=0.628868103027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456977844238281 × 216)
    floor (0.456977844238281 × 65536)
    floor (29948.5)     		tx = 29948
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.628868103027344 × 216)
    floor (0.628868103027344 × 65536)
    floor (41213.5)     		ty = 41213
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29948 / 41213 ti = "16/29948/41213"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29948/41213.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29948 ÷ 216
    29948 ÷ 65536     		x = 0.45697021484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41213 ÷ 216
    41213 ÷ 65536     		y = 0.628860473632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45697021484375 × 2 - 1) × π
    -0.0860595703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.27036411
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.628860473632812 × 2 - 1) × π
    -0.257720947265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.809654234582748
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27036411} λ = -0.27036411}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.809654234582748))-π/2
    2×atan(0.445011909353111)-π/2
    2×0.418698092216248-π/2
    0.837396184432497-1.57079632675     		φ = -0.73340014
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27036411} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.490722°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73340014 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.020733°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29948 KachelY 41213 -0.27036411 -0.73340014 -15.490722 -42.020733
    Oben rechts KachelX + 1 29949 KachelY 41213 -0.27026824 -0.73340014 -15.485229 -42.020733
    Unten links KachelX 29948 KachelY + 1 41214 -0.27036411 -0.73347136 -15.490722 -42.024813
    Unten rechts KachelX + 1 29949 KachelY + 1 41214 -0.27026824 -0.73347136 -15.485229 -42.024813
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73340014--0.73347136) × R
    7.12200000000385e-05 × 6371000     		dl = 453.742620000245m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73340014--0.73347136) × R
    7.12200000000385e-05 × 6371000     		dr = 453.742620000245m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27036411--0.27026824) × cos(-0.73340014) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.742902649134481 × 6371000     		do = 453.755852391932m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27036411--0.27026824) × cos(-0.73347136) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.742854972619975 × 6371000     		du = 453.726732159955m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73340014)-sin(-0.73347136))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.742902649134481-0.742854972619975)×R²
    abs(-0.27026824--0.27036411)×4.76765145061009e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.76765145061009e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.76765145061009e-05×40589641000000     		ar = 205881.762846652m²