Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 29947 / 29748
↖ ↑ ↗
← S 81.181231°
E149.007568°		 ← 187.29 m → S 81.181231°
E149.018555°		 →
↑
187.24 m
↓
↑
187.24 m
↓
S 81.182915°
E149.007568°		 ← 187.25 m →
35 065 m²		 S 81.182915°
E149.018555°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29947 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29748 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913925170898438 y=0.907852172851562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913925170898438 × 215)
    floor (0.913925170898438 × 32768)
    floor (29947.5)     		tx = 29947
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.907852172851562 × 215)
    floor (0.907852172851562 × 32768)
    floor (29748.5)     		ty = 29748
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29947 / 29748 ti = "15/29947/29748"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29947/29748.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29947 ÷ 215
    29947 ÷ 32768     		x = 0.913909912109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29748 ÷ 215
    29748 ÷ 32768     		y = 0.9078369140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.913909912109375 × 2 - 1) × π
    0.82781982421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.60067268
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9078369140625 × 2 - 1) × π
    -0.815673828125 × 3.1415926535     		Φ = -2.56251490608972
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60067268} λ = 2.60067268}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.56251490608972))-π/2
    2×atan(0.077110570542667)-π/2
    2×0.0769582793111804-π/2
    0.153916558622361-1.57079632675     		φ = -1.41687977
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60067268} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.007568°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41687977 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.181231°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29947 KachelY 29748 2.60067268 -1.41687977 149.007568 -81.181231
    Oben rechts KachelX + 1 29948 KachelY 29748 2.60086443 -1.41687977 149.018555 -81.181231
    Unten links KachelX 29947 KachelY + 1 29749 2.60067268 -1.41690916 149.007568 -81.182915
    Unten rechts KachelX + 1 29948 KachelY + 1 29749 2.60086443 -1.41690916 149.018555 -81.182915
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41687977--1.41690916) × R
    2.9389999999907e-05 × 6371000     		dl = 187.243689999407m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41687977--1.41690916) × R
    2.9389999999907e-05 × 6371000     		dr = 187.243689999407m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60067268-2.60086443) × cos(-1.41687977) × R
    0.000191749999999935 × 0.15330955451152 × 6371000     		do = 187.288969191224m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60067268-2.60086443) × cos(-1.41690916) × R
    0.000191749999999935 × 0.153280511887634 × 6371000     		du = 187.253489581962m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41687977)-sin(-1.41690916))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.15330955451152-0.153280511887634)×R²
    abs(2.60086443-2.60067268)×2.90426238857833e-05×R²
    0.000191749999999935×2.90426238857833e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.90426238857833e-05×40589641000000     		ar = 35065.3560234638m²