Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29945 / 29625
↖ ↑ ↗
← S 80.971628°
E148.985596°		 ← 191.70 m → S 80.971628°
E148.996582°		 →
↑
191.70 m
↓
↑
191.70 m
↓
S 80.973352°
E148.985596°		 ← 191.67 m →
36 747 m²		 S 80.973352°
E148.996582°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29945 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29625 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913864135742188 y=0.904098510742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913864135742188 × 215)
    floor (0.913864135742188 × 32768)
    floor (29945.5)     		tx = 29945
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.904098510742188 × 215)
    floor (0.904098510742188 × 32768)
    floor (29625.5)     		ty = 29625
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29945 / 29625 ti = "15/29945/29625"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29945/29625.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29945 ÷ 215
    29945 ÷ 32768     		x = 0.913848876953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29625 ÷ 215
    29625 ÷ 32768     		y = 0.904083251953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.913848876953125 × 2 - 1) × π
    0.82769775390625 × 3.1415926535     		Λ = 2.60028918
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.904083251953125 × 2 - 1) × π
    -0.80816650390625 × 3.1415926535     		Φ = -2.53892995147665
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60028918} λ = 2.60028918}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53892995147665))-π/2
    2×atan(0.0789508358325869)-π/2
    2×0.078787406922312-π/2
    0.157574813844624-1.57079632675     		φ = -1.41322151
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60028918} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.985596°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41322151 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.971628°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29945 KachelY 29625 2.60028918 -1.41322151 148.985596 -80.971628
    Oben rechts KachelX + 1 29946 KachelY 29625 2.60048093 -1.41322151 148.996582 -80.971628
    Unten links KachelX 29945 KachelY + 1 29626 2.60028918 -1.41325160 148.985596 -80.973352
    Unten rechts KachelX + 1 29946 KachelY + 1 29626 2.60048093 -1.41325160 148.996582 -80.973352
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41322151--1.41325160) × R
    3.00899999998716e-05 × 6371000     		dl = 191.703389999182m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41322151--1.41325160) × R
    3.00899999998716e-05 × 6371000     		dr = 191.703389999182m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60028918-2.60048093) × cos(-1.41322151) × R
    0.000191749999999935 × 0.156923533418042 × 6371000     		do = 191.703947672101m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60028918-2.60048093) × cos(-1.41325160) × R
    0.000191749999999935 × 0.156893816139369 × 6371000     		du = 191.667643878072m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41322151)-sin(-1.41325160))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156923533418042-0.156893816139369)×R²
    abs(2.60048093-2.60028918)×2.97172786725697e-05×R²
    0.000191749999999935×2.97172786725697e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.97172786725697e-05×40589641000000     		ar = 36746.8168677468m²