Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29945 / 20739
↖ ↑ ↗
← N 54.968155°
W 15.507202°		 ← 350.65 m → N 54.968155°
W 15.501709°		 →
↑
350.66 m
↓
↑
350.66 m
↓
N 54.965002°
W 15.507202°		 ← 350.68 m →
122 963 m²		 N 54.965002°
W 15.501709°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29945 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20739 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456932067871094 y=0.316459655761719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456932067871094 × 216)
    floor (0.456932067871094 × 65536)
    floor (29945.5)     		tx = 29945
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.316459655761719 × 216)
    floor (0.316459655761719 × 65536)
    floor (20739.5)     		ty = 20739
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29945 / 20739 ti = "16/29945/20739"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29945/20739.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29945 ÷ 216
    29945 ÷ 65536     		x = 0.456924438476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20739 ÷ 216
    20739 ÷ 65536     		y = 0.316452026367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456924438476562 × 2 - 1) × π
    -0.086151123046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.27065174
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.316452026367188 × 2 - 1) × π
    0.367095947265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.15326593105931
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27065174} λ = -0.27065174}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15326593105931))-π/2
    2×atan(3.16852421148145)-π/2
    2×1.26508580794004-π/2
    2.53017161588007-1.57079632675     		φ = 0.95937529
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27065174} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.507202°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95937529 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.968155°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29945 KachelY 20739 -0.27065174 0.95937529 -15.507202 54.968155
    Oben rechts KachelX + 1 29946 KachelY 20739 -0.27055586 0.95937529 -15.501709 54.968155
    Unten links KachelX 29945 KachelY + 1 20740 -0.27065174 0.95932025 -15.507202 54.965002
    Unten rechts KachelX + 1 29946 KachelY + 1 20740 -0.27055586 0.95932025 -15.501709 54.965002
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95937529-0.95932025) × R
    5.50400000000062e-05 × 6371000     		dl = 350.659840000039m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95937529-0.95932025) × R
    5.50400000000062e-05 × 6371000     		dr = 350.659840000039m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27065174--0.27055586) × cos(0.95937529) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.574031631292111 × 6371000     		do = 350.648071541573m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27065174--0.27055586) × cos(0.95932025) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.574076698997791 × 6371000     		du = 350.675601216288m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95937529)-sin(0.95932025))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.574031631292111-0.574076698997791)×R²
    abs(-0.27055586--0.27065174)×4.50677056802462e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.50677056802462e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.50677056802462e-05×40589641000000     		ar = 122963.023469834m²